цепочку неравенств:
' - г - J
• • • ^ *s S 2 U,-,
dx£..dxls) dx-
(7)
Сравнив соотношения (
6
) и (7), получим неравенство
( « * “ * н ) ^ Т
4
||«Г>
Т = } / Г§ - ,
(
8
)
к оторое
и
показывает, что
оператор 9(s — положительно
определенный. Отсюда
следует, что задача (1), (3 ) имеет
одно и только
одно обобщ енное решение; его можно полу
чить как решение задачи о минимуме функционала
U
i
1
4
У
±
Й
/
“
„
,
---------
2
/ „
£
t-i
y‘ /s '*
dxh dxti... dxik dxh dxh ...d x /k
dx
(9)
в соответствующ ем энергетическом пространстве.
Запись (1 ) может означать и систему некоторого числа
N
уравнения с
N неизвестными функциями, если под гг(лг) и /(л г)
понимать АЛкомпонентиые вектор-функции, а под
j£jJi"..jh
k(x
) —
квадратные
матрицы порядка N. Будем считать, что эти ма
трицы не меняются ни при каких перестановках верхних или
нижних индексов, а при замене верхних индексов нижними
и наоборот матрица переходит в сопряженную. Условие (2)
для системы следует записывать так:
г
( 2
(■*>
... V
•••/. ) ^ o S I ! ... f •
(
10
)
Здесь fj.a —
положительная постоянная,
tilis...is — произволь
ный Д/’-компонентный вектор, который не меняется при пере
становках индексов /д, . . . ,
is, символы (,) и || Ц
означают с о
ответственно скалярное произведение и норму векторов в
TV-мерном евклидовом пространстве. Аналогично изменяется
и условие (4).
Системы вида (1), удовлетворяющие условию (10), при
надлежат к классу так называемых «сильно эллиптических»
систем *).
На системы вида (1), удовлетворяющие условию (10 ) и
должным образом измененному условию (4), без труда рас
пространяются все результаты настоящего параграфа.
§
8
. З а д ач а Дирихле для беск он еч н ой обл асти
Пусть в эллиптическом уравнении
матрица
коэффициентов A]k(x) положительна, а коэффициент
С (х
) удовлетворяет неравенству
Тогда, как легко проверить, оператор
соответствующей задачи
Дирихле остается положительно определенным и в случае
бесконечной области, и эта задача (при однородном краевом
условии) имеет обобщенное решение.
Интерес представляет случай, когда
С ( х ) = 0.
Для простоты мы ограничимся уравнением Лапласа с од
нородным краевым условием. Подробнее случай бесконечных
областей рассмотрен в книге [13].
Пусть 2 —
бесконечная область с конечной кусочно глад
кой границей Г. Поставим в этой области задачу Дирихле
Оператор, порождаемый этой задачей, обозначим через
33. За область его определения D(33) удобно принять множе
ство функций класса C(s)(2), обращающихся в нуль на гра
нице Г и в окрестности (своей для каждой функции) беско
нечно удаленной точки;
действует оператор Ъ по формуле
ЗЗк = — А и.
Будем
рассматривать 58 как
оператор
в
Z
.2
(2). Докажем, что этот оператор положительный, но не
Do'stlaringiz bilan baham: