И здан и е второе, стереотипное

и у ( 
дк 
U Y r ' f .
д 
, 
dx.
Zi dxit
... dxih \ 
1
* 
* d*jt dx)t - • ■ dxjh /
Интегрируя по частям и принимая во внимание, что поверх­
ностные интегралы исчезнут в силу краевых условий (3)ь 
получим 
(
9
^и, и) 
—
-
* 
v
—
С V V
a
‘
i
‘
•••* 
дки
_______________
d r
iiJ»™hdxildxia...d x ik дх;1дх,$ ...д х ^
' 
( 5)
* А — О
О тбросив справа неотрицательные суммы, соответствующ ие 
значениям индекса к —  О, 
1
, . . . , s —
1
, и оценив оставшуюся 
сумму по неравенству (
2
), придем к соотношению
( И * « ) & p. j 2  
) ’ **• 
( e>
Как эт о видно из условий (3), для самой функции и (jc) и дла 
всех ее производных, фигурирующих в упомянутых условиях, 
справедливо неравенство Фридрихса. Это даег нам следующую

---

цепочку неравенств:
' - г - J
• • • ^ *s S 2 U,-, dx£..dxls) dx- 
(7)
Сравнив соотношения (
6
) и (7), получим неравенство
( « * “ * н ) ^ Т
4
||«Г> 
Т = } / Г§ - , 
(
8
)
к оторое 
и 
показывает, что 
оператор 9(s — положительно 
определенный. Отсюда 
следует, что задача (1), (3 ) имеет 
одно и только одно обобщ енное решение; его можно полу­
чить как решение задачи о минимуме функционала
U
i
1
4
У
±
Й
/
“ 
„
,
---------
2
/ „
£
t-i
y‘ /s '* dxh dxti... dxik dxh dxh ...d x /k
dx
(9)
в соответствующ ем энергетическом пространстве.
Запись (1 ) может означать и систему некоторого числа N  
уравнения с N  неизвестными функциями, если под гг(лг) и /(л г)
понимать АЛкомпонентиые вектор-функции, а под j£jJi"..jh
k(x
) —
квадратные матрицы порядка N. Будем считать, что эти ма­
трицы не меняются ни при каких перестановках верхних или 
нижних индексов, а при замене верхних индексов нижними 
и наоборот матрица переходит в сопряженную. Условие (2) 
для системы следует записывать так: 
г
( 2
(■*> 
... V
•••/. ) ^ o S I ! ... f • 
(
10
)
Здесь fj.a — положительная постоянная, tilis...is — произволь­
ный Д/’-компонентный вектор, который не меняется при пере­
становках индексов /д, . . . , is, символы (,) и || Ц
означают с о ­
ответственно скалярное произведение и норму векторов в 
TV-мерном евклидовом пространстве. Аналогично изменяется 
и условие (4).

---

Системы вида (1), удовлетворяющие условию (10), при­
надлежат к классу так называемых «сильно эллиптических» 
систем *).
На системы вида (1), удовлетворяющие условию (10 ) и 
должным образом измененному условию (4), без труда рас­
пространяются все результаты настоящего параграфа.
§
8
. З а д ач а Дирихле для беск он еч н ой обл асти
Пусть в эллиптическом уравнении
матрица коэффициентов A]k(x) положительна, а коэффициент 
С (х
) удовлетворяет неравенству
Тогда, как легко проверить, оператор соответствующей задачи 
Дирихле остается положительно определенным и в случае 
бесконечной области, и эта задача (при однородном краевом 
условии) имеет обобщенное решение.
Интерес представляет случай, когда С ( х ) = 0.
Для простоты мы ограничимся уравнением Лапласа с од­
нородным краевым условием. Подробнее случай бесконечных 
областей рассмотрен в книге [13].
Пусть 2 — бесконечная область с конечной кусочно глад­
кой границей Г. Поставим в этой области задачу Дирихле
Оператор, порождаемый этой задачей, обозначим через 
33. За область его определения D(33) удобно принять множе­
ство функций класса C(s)(2), обращающихся в нуль на гра­
нице Г и в окрестности (своей для каждой функции) беско­
нечно удаленной точки; действует оператор Ъ по формуле 
ЗЗк = — А и. 
Будем 
рассматривать 58 как 
оператор 
в 
Z
.2
(2). Докажем, что этот оператор положительный, но не