И здан и е второе, стереотипное

(
2
)
(
3
)
( 2 )> * =
1
» 
2
т .

---

значение1). Для упрощения рассуждений мы будем далее считать, 
что ф ^ С (
1
) ( 2 ) ‘
П остановку задачи мы изменим таким образом: говоря, 
что функция v 
(
j c
)
удовлетворяет краевому условию 
( 2 ) ,
мы 
будем понимать под этим, что
(v
— ф) £ Н у, 
(4)
где 
Н у
— энергетическое 
пространство 
задачи 
Дирихле
(2.5) — (2.6). Положим г> (х)— ф (х ) = н (х ). Тогда и £ Н у и 
Ф (г») = Ф (и) -}- 2Ф (и, ф) -j- Ф (ф), 
где Ф (ы ,ф ) — билинейный функционал
« ( . , « = J 
(5 )
2
J
очевидно, Ф(гг,ф) есть линейный функционал от и.
Так как Ф(ф) есть постоянная, то ясно, что вариационная 
задача (
2
) — (3) равносильна следующей задаче: в пространстве 
Н у
найти функцию, сообщающ ую функционалу
Ф (и) -f- 2Ф (и, ф) 
(
6
)
наименьшее значение.
Докажем, что эта последняя задача имеет решение, и при­
том единственное. Из условий (2.3) и (2.4) следует, ч ю одн о­
родный квадратичный функционал Ф неотрицателен, и для 
него справедливо неравенство Коши
|Ф(и, Ф ) | < К Ф 0 0 К
ф
7Ф). 
(7)
Если и {~ Н у>  то ]/"Ф (н) — J и |м( (формула (3.3) ) и, следова­
тельно,
|Ф(«, 
ф
) | < 1 /
ф
7
ф
) И й- 
( 8>
Функция ф — фиксированная: поэтому ] /Ф (ф ) есть величина 
постоянная и неравенство (
8
) показывает, что функционал
‘ ) Если не существует ни одной функции ф (*) с указанными
свойствами, то множество D (Ф) пусто и вариационная задача (2) —
(3) теряет смысл. Необходимые и достаточные условия, которые
нужно наложить на функцию 
9
(х) для того, чтобы множество D (Ф)
не было пустым, даны в работе [16].

---

Ф (и, ф) ограничен в 
Теперь из результатов § 9 гл. б 
вытекает, что задача о минимуме функционала (
6
) имеет 
в пространстве / % одно и только одно решение.
Обозначим это решение через щ(х), и пусть v0(лг) —
— щ ( х ) -}- ф (х). Очевидно, функция г^лс) решает вариацион­
ную задачу (
2
) — (3).
Т е о р е м а 14.5.1. Если г<0— решение вариационной за­