И здан и е второе, стереотипное

(
2
)

---

формул влечет за собой как следствие, что 
\
«л — us I
3
= (91 ( « „ — щ), ип — Hs) =
= ^ 
К *
( щ -
 % f )
( f e - й ) + С ( « . -
*,Г]
Теперь из неравенства (2.11) вытекает, что 
дип 
dus
d x .
dxk 
d x j a X -
дхь 
дхь
0
, 
k
=
1
, 
2
, . . . , m.
т. e. в 
метрике I a (&) 
последовательности 
производных 
я —
1
, 
2
, . . . , сходятся в себе.
Отсюда следует, что существуют пределы
® t = lim 
k
= 1 ,2 ........ m\ т » * £ £ 9(2 ).
В силу первого соотношения (4) по теореме 2.3.1
да
Vk = t e k-
( 5)
Остается доказать, что формулы (
2
) и (3) верны и для 
идеальных элементов. Пусть и — идеальный элемент, а по­
следовательность ип £ D (91) 
удовлетворяет 
соотношениям 
(4). Тогда
\
» |3
Л = J i m f ип f t =
jj [ Л *
+ Ctoi] d *. 
(
6
)
Докажем, что последний предел равен
\ [ A j k b l B k J r C u 'l] d x '
Для э т о го оценим величину
4 - |
I
+
•
Непрерывные в замкнутой области функции Ajk (x) и С(лг) 
ограничены. Пусть | AJk ( х ) |
< М, 
| С (л г)| < Ж ; 
М
= const. 
Тогда

---

Второй интеграл оценивается так:
^ | и* — и
81
dx =  $ I ип -f- и | • | и„ — и\ dx
В 
3
^ Ц
(ltn 
'
{ I ^
~ " * *
dx}' 2
= = 11 “ « + " II • II И " — W 11-
Второй множитель стремится к нулю, а первый сходится 
к пределу (равному 
2
|| и ||) и потому ограничен, следователь­
но, второе слагаемое в (7) стремится к нулю.
Сходным образом оценивается и первое слагаемое:
т
м
дипдип 
ди ди
дх, dxk 
дх/ дхъ
j , k
= I 
т
dx-
t I 
0 X j
\dxh 
dxhj
1
dxh \dx, 
dxj)
|
m
Ш
1
м
дип
да
+ |
ди
I
ди
,.
1 1
дхк
дхк
dxh
|
dxj
дх/ \
Справа первые множители ограничены, а вторые стремятся 
к нулю, и все выражение стремится к нулю. Окончательно,
и формула (3) верна для идеальных элементов энергетиче­
ск ого пространства.
Если теперь и и v — два таких элемента, то
[и, 
1
% = -^ {| н + 'г’ |?д — |и — г>1?л }.
Заменив нормы справа по формуле (3) и проведя элемен­
тарные упрощения, мы придем к формуле (
2
), которая тем 
самым установлена и для идеальных элементов.
Докажем теперь обратное 
утверждение: если функция
h ^ L
2
(
2
) имеет обобщенные производные 
11
ес_
ли существует последовательность { ttn }, ttn ^ D ('Л), удовле­
творяющая соотношениям (
1
), ю и (^Н % .

---

Последовательность { и „ } сходится в себе в энергетиче­
ской метрике. Действительно,
I * ■ - « , f t = J [ А ,  
( g j - § | ) + С ( щ . -
Коэффициенты Ajk и С ограничены постоянной М. Ха­
рактеристические числа матрицы старших коэффициентов, 
будучи непрерывными функциями коэффициентов AJk, также 
ограничены; пусть N =  const — их верхняя граница. Тогда
т
* = i
и, следовательно,
т
W - Щ
^ N  j Д
( g j J ' - з й )’ 'dx + м  j (»« - “ s? dx,
что стремится к нулю при п, s - > о о в силу соотношений (
1
).
Энергетическое пространство — полное, поэтому в нем 
сущ ествует элемент w  такой, что 
— ип 
->
0
. Первое
из соотношений (
1
) показывает, что w — tt. Окончательно, 
и
£ / % .
§ 4. О бобщ ен н ое решение задачи Дирихле
1. 
Оператор 91 задачи Дирихле (2.5) — (
2
.
6
) — положи­
тельно определенный в 
(Q). П о доказанному в § 5 гл. 5 
при любом / £ £
9
(
2
) упомянутая задача имеет одно и только 
одно обобщ енное решение 
По теореме 14.3.1 функ­
ция и0 суммируема с квадратом, имеет суммируемые с квад­
ратом обобщенные первые производные и обращается на гра­
нице области в нуль в смысле соотношений (
3
.
1
).
Уравнение (2.5) — второго порядка, и было бы интересно 
выяснить, сущ ествую т ли вторые производные от обобщ ен­
ного решения задачи Дирихле. Для оператора Лапласа ча­
стичный ответ на этот вопрос будет дан ниже, в § 6. Б олее 
полный ответ дан в книгах J
8
J и [
11
].

---

Обобщ енное решение и<,(х) есть решение задачи о мини­
муме функционала
/ Ч « 0 = | “ & - 2 ( * / > =
\ [А » Ш ,Я Г к
-
2/ “ ] rfjff 
(1)
а
при краевом условии (2.6). Это решение можно представить 
в виде ряда (см. § 5 гл. 5)
00
«О ( * ) = ^ ] (/> шп) *»п (*)> 
(
2
)
я
-1
где {wn (x )} — последовательность, ортонормированная и пол­
ная в пространстве /% .