И здан и е второе, стереотипное

L u = = ~ ' d x j {A Jk
+ Сн ==/(■*)>
и
|г =
о. 
(6)
Будем считать, что / £ Ц  (2), и будем искать решение 
задачи (5 ) — (
6
), также принадлежащее пространству Z., (2 ). 
Задача (5 ) — (
6
), как и всякая краевая задача, порождает 
некоторый оператор, который мы обозначим через 3(. Он 
действует по формуле
= 1п —  — Щ  ( ■
-Щ )
+ Си-,
за его область определения /3(2() можно принять множество 
тех функций из С (
4
) (2 ), которые удовлетворяют краевому 
условию (
6
). Ясно, что 91 можно рассматривать как оператор, 
действующий в пространстве 
1
а(
2
).
Докажем, что оператор Si в 
1 2
( 2 ) положительно опре­
деленный.
В соответствии с определением (§ 2 гл. 5) доста­
точно установить три факта: 
1
) множество 0 (3 1 ) плотно 
в Z .j(
2
); 
2
) оператор §( симметричен
(21г*, г>) = (и, §{xi); 
н, v 
D
(3(); 
(7)
3) 
оператор 9( удовлетворяет неравенству положительной 
определенности
(2 1 и , 
и) 
II « I I 9; 
Та 
=
c o n s t
> 0 .
(8)
Множество D (2 l) плотно в Z.a(
2
) — это сразу вытекает 
из следствия 1.3.1, так как Z)(2(), очевидно, содержит мно­
ж ество всех финитных в 
2
функций.
Докажем симметричность оператора 91. Пусть и, v ^ D (3(). 
Э то значит, что и, v £ С (а) ( 2 ) и
Н|г =гГ|г = = °.
(9 )

---

(31н, v ) — (и, 31 v) — (Lu, v) — (и, Lv) = \) (vLu— uLv)dx.
i!
Применив к последнему интегралу вторую формулу Гри­
на (формула (
6
.
6
) гл. 
10
), получим