И здан и е второе, стереотипное

и ( х ) — н (0 , 
X е)
ди
(£, * ’) jt 
51
Н о точка (0, х 1) лежит вне области 2 , поэтому н ( 0, х ')
0 
? ди (
5
, х ’) м

---

П о неравенству Буняковского
о
о
о
Последнее неравенство проинтегрируем по параллелепипеду П
... 
\ 
dXa==
«
0
0
о
—5 Ч J №
*)•<*.-*j ет*-.
Слева и справа отбросим интегралы по П \2, равные нулю; 
кроме того, к подынтегральной функции справа прибавим 
неотрицательную сумму
т
2
Ш
-
Э то приведет нас к неравенству
т
i
«».(* ) d x  ^ e l J 
2
[ш ,; ) ' dx • 
( 3)
*=1
к оторое совпадает с неравенством (
2
), если в последнем по­
ложить x = af. Разумеется, в качестве х можно взять любое 
из чисел а| (в частности, наименьшее из них). Вопрос о наи­
меньшем возможном значении х будет решен в следующей 
главе.
§
2
. О п ератор задачи Д ирихле 
Пусть
— дифференциальное 
выражение, 
коэффициенты 
которого 
определены 
в 
некоторой конечной 
области 
2
евклидова 
/«-м ерн ого пространства Ет. Границу Г области 2 будем счи-

---

тать 
кусочно гладкой. Примем еще, 
что 
Ajk^
C*s) (S), 
С £ С (
2
).
Дифференциальное выражение (1 ) будем считать эллипти­
ческим в замкнутой области 2 . В этом случае все собствен­
ные числа Aj(x), ^ ( х ) , . . . , Ат ( х ) матрицы старших коэф­
фициентов А]к{х) имеют в 2 один и тот же знак. Изменив, 
если это нужно, знак выражения L, можно всегда считать,
ч т о Ал ( х ) ^ > 0 , х £ 2 .
Уравнение
А
ц
—
X
• • •
т
1
A < i
j
Л и
X
• • •
=
0
А щ Я
Л / л я
А
имеет старший коэффициент ( — 1)т, постоянный и отличный 
от нуля; прочие коэффициенты эт о го уравнения непрерывны 
в 2 . Отсюда следует, что корни Afc( x ) этого уравнения суть 
непрерывные; в 2 функции от х . Будучи положительными 
в
компактной замкнутой области 
2
, они в этой области огра­
ничены снизу некоторой' положительной постоянной, которую
мы обозначим через ц0:
X * (x )
2
s t v
ц
0
= const >
0
. 
(
2
)
Эллиптическое дифференциальное уравнение, удовлетво­
ряющее неравенству (
2
), называется невырождающимся в 
2
.
Пусть tv /4, . . . , tm — произвольные вещественные числа. 
Если Х ,(х ) — наименьшее 
из 
собственных чисел матрицы 
ТО, 
как известно,
т
Л у * ( х ) * А ^ М * )
2
я -
Воспользовавшись неравенством (2), получим
т 
ft
- 1
Неравенство (3) и характеризует невырожденное эллипти­
ческое выражение. Это неравенство будет играть важную 
роль в последующем.

---

От дифференциального выражения (1) потребуем еще, 
чтобы
С ( х ) =
2
= 0, 
(4)
Рассмотрим теперь задачу Дирихле с однородным крае­
вым условием: