§
6
. О сущ ествован и и втор ы х п рои звод н ы х решения
задачи Дирихле
Т е о р е м а 14.6.1. Обобщенное решение задачи Дирихле
в конечной области
2 для однородного уравнения Лапласа
с неоднородным краевым условием есть функция, гармо
ническая в
2
.
Для уравнения Лапласа A]k = bJk, С = 0, и тож дество
(5.10) принимает вид
Мы заменили здесь обозначение х на Е.
Возьмем произвольную точку х £ 2 и положим в равенстве
(1) 7]
=
шл (г),
где г
=
|
Е —
х
|,
а
юл —
усредняющее ядро
(§
1
гл.
1
); радиус усреднения h следует взять меньшим, чем
расстояние от точки х до Г — границы области 2 , — тогда
шЛ (г) |г = 0. Функция шл (г) зависит только от разности
Е
— х ,
поэтому
(
12
)
(
1
)
д<*н (г) _ _
(г)
dS*
дхк •
и тождеству (
1
) можно придать следующую форму:
П о теореме 2.2.1
и, следовательно,
Дг»ол = 0.
(2 )
Если Л -» -0, то к
0
й ->-г
10
в метрике Ц (И ) (теорема 1.3.3).
П о теореме 11.9.2 функция г»
0
(х ) гармонична в 2.
Т е о р е м а 14.6.2. Если / £ j j C (
1
) ( 2 ) я « о ( х ) есть обоб
щенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
— Ди == / (х),
и |г =
0
,
(3)
то щ (х)
£ Cw (2).
Введем в рассмотрение объемный потенциал
=
—
2
) | S j
Из результатов §
6
гл. 11 вытекает, что
ф £ С (
1
) (
2
) П С (а)(Й)
и что — Д<]> = f ( x ) .
Функция гг
0
(дг) решает задачу о минимуме функционала
F ( u ) =
т
ди
\»
„ ,
.35 -
- Л = 1
<#,
и
£
поэтом у вариация функционала F в точке щ равна нулю:
bF(u0,
ч ) = 2 $ [ ^ ^ - _ / ч] <й = а
v ^ g / % .
Сделаем замену щ — v
0
-j- ф
SG&fc+SU-*]*-*
W
В тождестве (4) положим т| = u>ft (г), где
— усредняющее
ядро, г —
j
? —
j c
[> х — точка области
2
и радиус усреднения
h
меньше, чем расстояние от точки х до Г — границы о б
ласти
2
.
Второй интеграл в (4) возьмем по частям:
j
% W ,
1
^ 157 “!Г = J «
интеграл п о 'Г , очевидно, пропадает. Тож дество (4) прини
мает вид
= о.
о£* дчк
Те же преобразования, что и в предшествующей теореме
дают, что ДиОЛ = 0 и, следовательно, функция г
>
0
гармонична
в 2 . Тем более, г
>
0
£ Cw (2). Но тогда и н
0
= (и
0
-j-
(2 ).
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . Известны более сильные теоремы о дифферен
циальных свойствах обобщ енного решения задачи Дирихле, чем
теорема 14.6.2. Сформулируем некоторые из них.
_
1. Если в уравнении (3) функция
f ( x )
удовлетворяет в
Q
усло
вию Липшица с показателем
а,
0 < с а < 1 , то в торы е производные
обобщ енного решения и0 (дг) удовлетворяю т том у же условию в
любой внутренней замкнутой подобласти.
2. Если / £
Lp
(Q), 1
< р < с о ,
то функция и 0 имеет всевозм ож -
ные вторые обобщ енны е производные
£
Lp
(2 '), где
2 ' —
произвольная внутренняя подобласть Q.
О бе эти теоремы вытекают из свойств объ ем н ого потенциала,
сформулированных в замечании к § 6 гл.
11 (стр. 240— 241). Под
робнее об этом см. {12].
§ 7. Эллиптические уравнения высших порядков
и системы уравнений
Вариационный метод позволяет решать задачи, значительно
более общие и сложные, чем задача Дирихле для эллипти
ческого уравнения второго порядка. Для примера рассмотрим
первую краевую задачу (с однородным краевым условием)
для эллиптического уравнения, порядок к о т о р о го выше двух.
В самом общем случае можно записать формально само
сопряженное уравнение порядка 2s в пространстве Ет в
следующем виде:
У ( _
r d-
„
и у г ' т
г - * " . ^
W ( x ) .
U d x iidxii...dxi k \ i j r -’ к ’ dxh dxj i ...d xjt) )
K '
(
1
)
Суммирование во внутренней сумме производится по все
возможным наборам индексов
/а, . . 1к и у,, j\ ,. . j k,
каждый из которы х независимо от других пробегает значения
1, 2 , . . . , т. Коэффициенты А ‘1.1у " ’к
не меняются ни при
каких перестановках верхних или нижних индексов, а также
если поменять местами все верхние и все нижние индексы.
Как и в случае уравнения второго порядка, принадлеж
ность уравнения (
1
) к эллиптическому типу определяется
поведением его старших коэффициентов, соответствующих
значению индекса k = s. Уравнение (1) называется невы-
Do'stlaringiz bilan baham: |