И здан и е второе, стереотипное

2. 
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа
— Д н = /(д г ), 
(3)
и|г = 0, 
(4)
в параллелепипеде 
2
, заданном неравенствами
0 sS x k 
a*; 
k =
1, 2, . . . , т.; 
(5)
через Г обозначена поверхность параллелепипеда (5). В дан­
ном случае AjH
 = bjk,
С = 0; формулы (3.2) и (3.3) упрощ а­
ются и принимают следующий вид:
9
1
2
Ш
а х ’
Я
*=* \
Система функций
т
2 5 Г ¥ И
5,п!^
' л* ”
1' 2' 3.....
(7)
9
(6)
I 
т
2m/2
I у  "ft Г~ 2
■ V T S I l . r . ^ 1
**
т
ортонормирована и полна в Н л (докажите!); здесь | 
2
] = П а»
1
есть объем параллелепипеда (5).

---

По формуле (2) находим
ОО
2т
V4
“ ° (■*> = тс
81
2
| 
2
я‘ - 
Я2
..... пп Г 1
т
a
ft = i
(
8
)
§ 5. З а д а ч а Д и р и х л е для о д н о р о д н о г о у р а в н е н и я
Пусть область 2 и коэффициенты Ajk(x), С (х ) удовле­
творяют условиям §
2
и пусть функция <р (jc) задана на по­
верхности Г — границе области 2.
Рассмотрим в области 2 задачу Дирихле для однородного 
эллиптического уравнения
при неоднородном краевом условии
Поставим задачу о минимуме однородного квадратичного 
функционала
на множестве /3(Ф ) функций, определенных почти всюду в 2, 
удовлетворяющ их краевому условию (
2
) и сообщающих инте­
гралу (3 ) конечное значение. Последнее означает, что функция 
v
As (
2
), 
что 
существуют 
обобщенные 
производные
Задачу (2 ) — (3) будем решать при одном дополнительном 
требовании и в слегка измененной постановке. Требование,
о котором здесь идет речь, весьма важно для вариационного 
метода и состоит в следующем: существует функция ф (х) 
такая, что ф ( х ) |r = <р ( х ) и интеграл Ф(ф) имеет конечное
г>|г = <р(лг).