И здан и е второе, стереотипное

а* )у1п % (в> 
'
 
(2)
п — 0 k *=1
Решение задачи Дирихле для шара р < ^ R  дается рядом
со 
* я , 
т 
п — 0
2
. 
З а д а ч а
Д и р и х л е д л я
в н е ш н о с т и
ш а р а .
Пусть требуется найти функцию и (лг), гармоническую в области 
Р— X \^>R
и удовлетворяющую краевому условию (
1
). Если 
функция <р(
0
) разлагается в ряд (
2
), то искомая функция 
представляется рядом
« м
л
=0
k
= 1
3. З а д а ч а Н е й м а н а д л я ш а р а .
Пусть требуется 
найти функцию и (х ), гармоническую в шаре р 
R
и удовлет­
воряющ ую краевому условию
dU 
, ^ =
Ф ( 0); 
( 5 )
дч
здесь v — внешняя нормаль к сфере р — R, она совпадает 
по направлению с радиусом, идущим в точку х ; поэтому 
д 
д '
— “5|Г|Р==Л> и Условие (5) можно представить в виде 
ди
д
р
р ‘
= * = <И 0)- 
(
6
)
В силу формулы 
(2.7) гл. 12 для разрешимости задачи 
Неймана необходимо, чтобы
$ <К0)<Ю* = О.

---

Но dSR — Rm~1 dSv где 
— единичная сфера, и последнее 
условие равносильно следующему:
^ ф (
6
) dSi =  0. 
(7)
s,
Функцию ф (
6
) разложим в ряд по сферическим функциям:
от * я , 
т
<8)
п — 1 k — 1
Член с номером я = 0 отсутствует в силу формул (7), (4.7) 
и свойства 2 сферических функций (§ 4).
Решение задачи Неймана представляется рядом
оо 
т
и
w
= с + 2
2
ь"
ч ? - (в)- 
(9 )
Л« 
1
*=1
где С — произвольная постоянная.
4. 
З а д а ч а Н е й м а н а д л я в н е ш н о с т и ш а р а . Пусть 
ищется функция и(х), гармоническая в области р^> R и удов­
летворяющая краевому условию (5). Для бесконечной области 
условие (2.7) гл. 12 не необходимо, и разложение функции 
ф (
0
) в ряд по сферическим функциям может содержать также 
и нулевой член. Пусть
оо * я , 
т
ф ( ® ) = 2
<1Э>
я
» 0
k—\
Решение задачи Неймана дается формулой
со 
т
п — 0
 
.
6
. З а д а ч и Д и р и х л е и Н е й м а н а д л я ш а р о в о г о
с л о я .
Будем искать функцию, гармоническую в шаровом 
слое 
и удовлетворяющую краевым условиям
задачи Дирихле

---

Функции ср
0
(0) и
функциям:
со ^п, т
? . ( » ) - - =
2
2
< ! П Ч» №
п = 0
1
? . ( « ) =
2
2
« й П?™ <«)•
п —0 k
—1
Реш ение задачи будем искать в виде ряда
п = 0
= 1
(13)
" « =
2
2 ( Л" р" + 7 ^ М
п ? . ( ч -
« и )
Полагая в формуле (14 ) р =
/?0
и p — Rt и сравнивая полу­
ченные ряды с рядами (13), получим систему уравнений для 
неизвестных коэффициентов Л<*) и Bjf>:
АуЩ г\ + В ^ Щ - т- п = а\*‘\
( ,5 )
Определитель системы (15), равный