И здан и е второе, стереотипное



Download 13,51 Mb.
Pdf ko'rish
bet132/298
Sana08.07.2022
Hajmi13,51 Mb.
#758730
TuriУчебник
1   ...   128   129   130   131   132   133   134   135   ...   298
Bog'liq
с. г. Михлин Мат.физ

R rm 
R
р'»-а |S,j J 
R r’m 
R
.p*-* ' ( )
SR 
SH
Умножим равенство (4) на 
9
(je,) и вычтем из формулы 
Пуассона (
2
)
р т - з  

(• п*__ В *
« ( * ) — -J*=r <Р(*о) = -|s
7
j- 5 
--Rrm [
9
(«) — <Р (•*<>)]
dSR.

Повторив дословно рассуждения § 3, получим 
Нш Г « ( х ) _ ^
1
(р(хв)] =
0
.
X
-♦ 
X
q
*- 
г 
J
Отсюда
I и (х ) — tp (jc0) | *££ | и ( * ) —
? (х 0)
| +
и равенство (3) доказано.
§ 6. Производные гармонической функции 
на бесконечности
Т е о р е м а
12
.
6
.
1

П у с т ь и (х )

функция, гармониче­
ская в бесконечной области
2
с конечной границей
Г, 
и 
п у с т ь D ku

любая из производных порядка k о т функ­
ции и. Тогда для д о стато чн о больших
|дг| 
и м еет м есто 
неравенство
^ « К т т р т й г .
0
)
где Ck не зависит о т х.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для А =
1
; общий случай 
рассматривается аналогично.
Граница Г конечна, поэтому можно построить сферу 
S
r
столь большого радиуса 
R,
чтобы Г целиком лежала внутри 
этой сферы. Для функции 
и (х )
во внешности сферы 
S# 
справедлива формула Пуассона:
* {*) = Ж Т S 
Р= М -


Найдем какую-нибудь из первых производных, например, про- 
изводную по 
Х{.
да
1
f
d р* —
R* j о 
/о\
~ I S i l  
^ дх, R r m 
i R' 
^
Sj?
Вычислим производную под знаком интеграла:
д р8 — Я 2_ _ 0 де 

т  (р8 — R s) 
дг _ _  
dxt R r m 
P dxt ' R r m 
R r m+l 
' dx,
__ 2x, 
m (p2 — /?2) Xi — Si 
— 
Rp* 
Rrm+V


'
Пусть p достаточно велико, например, пусть р 
2
R.
Тогда 
r^ > р — R > y P > и мы получаем следующую оценку ядра 
интеграла (
2
):
| д р* — /?* | __ 2m+1 
. 2т +1т _ _  С,
dxt 
R r m | ^ R fm~l " г R f m-i —  pm
-1

Теорема доказана.
Заметим, что для 
т — 2
можно получить оценку произ­
водных с порядком убывания на единицу более высоким, чем 
в формуле (
1
).
§ 
7,
Теорема единственности для внешней задачи 
Неймана
Т е о р е м а 12.7.1. 
В случае т ^ > 2 внешняя задача Ней­
мана для уравнения Лапласа им еет не более одного ре­
шения.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем в предположении, что гра­
ница рассматриваемой области регулярна.
Итак, пусть бесконечная область 2 имеет регулярную 
границу Г и пусть в этой области задача Неймана имеет два 
решения; их разность г>(х) удовлетворяет соотношениям
Дт> — 0, 
х £ 2 ; ц (х ) = 0 (| х | - т +2), 
х -> оо; 
(1)
=
0

(
2
)
<74 |Г
Построим поверхность Г л, параллельную поверхности Г
и расположенную внутри 2 (рис. 22). Проведем сферу 
S r
с


центром в начале и радиусом 
R
столь большим, чтобы вся 
поверхность Г л оказалась внутри 
S
r
.
Обозначим через 2^> 
область, ограниченную поверхностями 
и 
S
r
,
и через 2# —
область, 
ограниченную 
поверхно­
стями Г и 
S
r
.
Область 2<*| 
конечна, 
причем 
г» ^ С(а) 
можно, следовательно, 
применить формулу Грина (
6
.
8
) гл. 10:
е(Л) ft=i
+

v % dVh-\-

v % dSR-
Гл 
S
r
Перейдя к пределу при 
h
-* 0 и приняв во внимание урав­
нения (
1
) и (
2
), придем к тождеству
т
]
1
<з >
А
=1
Пусть 
R
—>

оо. Соотношения (
1
) показывают, что функция 
v
гармонична в 2, и при достаточно больших 
R
l ® C * ) | | * | - J ? s '
С 
Далее, по неравенству (
6
.
1
)
: f ^ m
- 2
С
= const.
■ 
С,

Р>т-
1 .
Ci = const,
и для правой части формулы (3) получается оценка
C C j | 
Sff

СС,
| S j |
1
s
R m~
П о предположению 
m^> 2;
поэтому
m
а
д
R m~*


отсюда очевидным образом следует, что
4^- —
0

v
=== const. 
д*ь
Вспоминая, что 
v
(jc) на бесконечности обращается в нуль, 
получаем zi(jt) = 0. Теорема доказана.
П усть 
т =
2. В § 
6
мы отмечали, что в этом частном 
случае первые производные убывают быстрее, чем в общем 
случае. Используя это обстоятельство, легко получим равен­
ство
v
= const.
Q
В то же время требование | 
v
(jc) | ^ п г ш
=1
дает лишь огра-
ниченность на бесконечности. Отсюда следует, что при 
т —

единственность внешней задачи Неймана для уравнения Лап­
ласа имеет место лишь с точностью до постоянного слага­
емого.


ЭЛЕМ ЕНТАРНЫ Е РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ 
И НЕЙМАНА
§ 1. Задачи Дирихле и Неймана для круга
В
этом и ближайших параграфах будет рассмотрено одно­
родное уравнение Лапласа на двумерной плоскости. В отличие 
от обозначений, применяемых в остальной части книги, мы 
будем здесь обозначать декартовы координаты переменной 
точки через 
х
и 
у
или через Е и -rj; соответственно самые 
точки будут обозначаться символами (х, 
у
) или (Е, к)). Мы 
будем также пользоваться обозначениями 
z — x-\-ly,
С =
= Е -|- 
1ц,
где / =
V
— 1.
Хорошо известна связь между гармоническими и аналити­
ческими функциями: если 
f (z ) = u(x, 
У
) — функ­
ция, голоморфная в некоторой области, то ее вещественная 
часть 
и (х , у )
и мнимая часть 
v (x , у )
гармоничны в той же 
области. С другой стороны, если вещественная функция 
и (х, у )
гармонична в 
односвязной
области, то можно найти 
гармоническую в той же области функцию 
v (x , у )
(она на­
зывается 
сопряженной
с функцией 
и (х ,
_у)) так, чтобы сум­
ма и 
(х, у )
-J- 
iv
(дг, 
у )
была в указанной области голоморф­
ной функцией от 
z.
Если область многосвязна, то написан­
ная выше сумма будет, вообще говоря, многозначной.
Если и — натуральное число, то функция 
zn
голоморфна 
в любой конечной области; если 
п
— целое отрицательное, то 
функция 
zn
голоморфна в любой области, не содержащей 
начала. Отсюда следует, что полиномы
Re (
2
Л), 
1m (
z
n), 
п
^ О
(
1
)


гармоничны в любой конечной области, а рациональные дроби 
Re (г -"), 
Im (г""), 

(2)
гармоничны в любой области, не содержащей начала.
Введем полярные координаты р и 0 с полюсом в начале. 
Тогда 
z — ре,в;
функции (
1
) и (
2
) принимают соответственно вид
pB cosn
0

р" sin я
0

0
 
(10
и
cos лв 
sin пв 
_ , 
/г.,ч


рй • 
(20
1. 
Поставим задачу Дирихле для круга. Пусть требуется 
найти функцию и(дг, 
у),
гармоническую в круге |г|< С /? и 
совпадающую на окружности этого круга с заданной непре­
рывной функцией ер(
0
):
и\
 р = я = ?р-(0). 
( 3 )
Допустим, что функция ср (0) разлагается в ряд Фурье, 
сходящийся при всех 0. Пусть
СО
<Р (6) == а0 + S
C0S л8 + bn Sin я9)' 
( 4)
а—
1
Легко написать формальное решение нашей задачи:
00 
п
и (X , у ) —  ( ЯП cos « б ~ Ьbn sin Я0)- 
( 5)
Л
-=1
Ряд (5) сходится в круге |^1< CR и его сумма в этом круге 
гармонична (докажите!). Если в этом ряде допустим почлен­
ный переход к пределу при р -> 
R,
то
00
“ С*» 
У)
|р=я =
+ 2
cos 
л0
+
sin пб) —
f
Л—I
и формула (5) действительно решает задачу.
По. известной теореме Абеля такой предельный переход 
допустим при тех значениях 0, при которых ряд (5) сходится. 
Этот ряд сходится к ср (0) при всех 0, если, например, <р (0) 2тс-пери- 
одична, абсолютно непрерывна и имеет производную
(^Z.g(0, 2тг). Для такого рода граничных функций ряд (5) 
действительно решает задачу Дирихле.


Просуммируем ряд (5). По известным формулам для коэф­
фициентов Фурье
2ге 

а0 =
^
^
хр (ю) 
dm, 
ап

~
^ <р (ш) cos лш 
dw,
о 
о
2it
bn — -~
^ <р (а>) sin Яш 
dm.
о
Подставив это в ряд (5), получим
2« 
Г
оо
Чх, У) = ^
jj <Р(“ ) 1 + 2 2 J
COS«((0 — 6)
/
1—1
du>.
Мы переставили здесь порядок суммирования и интегриро­
вания; законность этого при р < [/? нетрудно доказать. 
Имеем р
eli — z.
Положим еще /?ei(a = C. Тогда
се»
2
j£ c o s fl(w — fl) = R e
2
£ = R e £ = l
я
«=1
 
n=l
И
2т:
“ (*• ^ = i
\
c p M R e ^ r f u ^ R e ^ J  
о 
|сыг
Эта формула известна под названием 
формулы Шварца. 
Далее,
R e ^ + - * - R e « + *>£-»> =
г = |С — г|»
С — г — д 
|С — z|a 
»■
и окончательно
2 «
“ (*■ 
(
6
)
о
Это — формула Пуассона для круга. Нетрудно видеть, что 
г
9
=
R*
-f- ра —
2Rp
cos (ш —
0
), и мы приходим к более обыч­
ной записи формулы Пуассона:


2
. Решение задачи Дирихле для внешности круга |z|^> /? 
при том же краевом условии (3) дается рядом
00
и
(дг, 
у ) =
а„ +
2
К cos 
л9
+
К
sin Лб). 
(б,)
Я=1
Ряд (5j) можно просуммировать и получить формулу П у­
ассона для внешности круга:
2lC
Н(х, 
У ) = ^


О
2те
2
л 
\ R2
+ р
2

2
/?р cos (<
*>
— 
6
) ^ ^
о
3. Задача Неймана для круга 
ПРИ краевом усло­
вии
t , U = h » )
т
решается так. Разложим ф(0) в ряд Фурье:
СО
ф (9) = а
0
-|- ^ (а„ cos и
0
-(- 
sin 
пв).
П—\
Но если решение и (
х, у )
существует, то

Download 13,51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   128   129   130   131   132   133   134   135   ...   298




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish