|
§ 2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа
Т е о р е м а 12.2.1.
К ак внутренняя, т а к и внешняя
задача Дирихле для уравнения Лапласа им еет не более
одного решения.
Допустим, что задача Дирихле имеет два решения: Mi(x)
и
щ
(х). Тогда справедливы следующие две системы тождеств:
— Ami = F(jc),
u1|r = cp(x);
(
1
)
— Дм, =
F
(
jc
),
щ
|г =
<р
(*).
(2)
Введем обозначение
ut (х
) —
щ
(х ) =
v
(х). Вычитая тож
дество ( I ) из (
2
), получим
Дг> = 0,
v |г = 0.
(3)
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле. Дело сводится
к отысканию гармонической в
2
функции ® (х ), непрерывной
в 2. П о принципу максимума ее наибольшее и наименьшее
значения достигаются на границе, но тогда они равны между
собой и равны нулю. Отсюда следует, что г*= 0 и j ji ( x ) = k
2
(x).
Перейдем к внешней задаче Дирихле. Если
т —
2, то
конформным преобразованием (например, дробно-линейным)
можно перевести бесконечную об
ласть в конечную. Уравнение Лапласа
при этом переходит опять в урав
нение Лапласа, функция
v,
гармони
ческая в бесконечной области, пере
ходит в функцию, гармоническую в
конечной области, и эта функция по-
прежнему равна нулю на границе
области. Дело сводится, таким об
разом, к уже доказанной единствен
ности задачи Дирихле в конечной
области. Поэтому дальше нам доста
точно рассмотреть случай
т
^>2. В силу условия (1.6) разность
решений
v = Ui
— и
9
гармонична в 2. Окружим границу Г
шаром радиуса
R
с поверхностью
и рассмотрим функ
цию ® ( х ) в кольцевой области 2^, заключенной между Г и
S#
(рис. 20). Нам известно, чтог»|Г = 0; кроме того, на доста
точно большом расстоянии от начала координат, которое мы
поместим в центре сфер и ^
I® (■ *)!<
Следовательно, на поверхности шара
S #
если только радиус
R
достаточно велик,
Зададим произвольное число е ^ 0 и выберем
R
настолько
большим, чтобы
CR'2~m
е. В кольцево» области
QR
наиболь
шее и наименьшее значения функция г»(лг) принимает либо на Г,
либо на
S K\
эти значения, следовательно, по модулю не пре
восходят е.
Пусть
х
— произвольная точка области
Q.
При достаточно
большом
R
эта точка попадет в область
QR
и потому
|г>(лг)|<^е. Но е — произвольное положительное число, поэтому
®
(-*0
=
0
и
щ
(х ) =
щ
(х).
З а м е ч а н и е . Об условиях единственности решения задачи
Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка (1.1)
см. книгу Миранда [
10
]. Если матрица старших коэффициентов
положительно определенная в замкнутой области
2
и /
10
(лг);>
0
,
то единственность решения задачи Дирихле вытекает из принципа
максимума (§
10
гл. И).
Займемся задачей Неймана. Будем говорить, что функ
ция
и (х ),
определенная в области 2, имеет на границе Г
этой области
правильную нормальную производную,
если
существует непрерывный на Г предел
причем стремление к пределу — равномерное относительно
х;
через
х
, как и выше, обозначена точка области, лежащая
на нормали v, проходящей через точку
х.
Если функция
и
^ С (1) (й ), а граница Г гладкая, то, оче
видно,
и
(л ) имеет на Г правильную нормальную производную.
Рассмотрим конечную область 2 с границей Г и поста
вим для этой области внутреннюю задачу Неймана:
С
дт-г •
Au = F (x ), x £ Q ,
н £ С (
9
) (
2
) П С ( 2 )*
причем будем требовать, чтобы
искомая функция имела пра
вильную нормальную производную.
Предположим еще, что
граница Г есть
регулярная поверхность.
Это означает сле
дующее:
1
) в каждой точке
х
поверхности существует опре
деленная нормаль; 2) если в любой точке
х
£ Г построить
местную систему координат, в которой ось
х т
направлена
по нормали, а оси
x lt х& ..., x m__t
лежа г в касательной пло
скости, то вблизи точки
х
можно задать поверхность явным
уравнением вида
х т = f ( x
j,
xt
.......
х т
j); 3) при
x v
х а>
• • •>
достаточно малых / £ С(г).
Покажем, что задача Неймана (4) в общем случае нераз
решима, и выведем необходимое условие ее разрешимости.
В каждой точке
х
поверхности Г проведем нормаль,
направленную внутрь области, и на нормали отложим отрезок
фиксированной длины
h,
один конец которого совпадает
с точкой
х.
Геометрическое место вторых концов образует
поверхность Г А, о которой говорят, что она
параллельна
поверхности Г. Из дифференциальной геометрии известно,
что при
h
достаточно малом поверхность I ’ft гладкая и что
нормаль к одной параллельной поверхности является нормалью
и к другой. Обозначим через 2 (Л) область, заключенную
внутри Г А; очевидно, 2 (Л) = 2 \ 2 ft, где 2 Л — пограничная
полоска области
2
ширины
h.
_
Если
и
— решение задачи (4), то, очевидно,
и
(5 С (8) ( 2 (Л))
и к функциям
и
и
v ~
1
можно
применить
формулу
Грина (6.10) гл. 10. В данном случае эта формула дает
— jj
F {x )d x =
J
% < trh.
9'*'
ГЛ
Функция и имеет правильную нормальную производную,
поэтому*?—
равномерно стремится к
= ф (х ) при /г->
0
.
cfo гд
r
Переходя в последней формуле к пределу при
h -*
0, получим
^
F
(х )
dx
-f- ^ ф (■*)
я
Г
Этому соотношению необходимо должны удовлетворять данные
нашей задачи. В общем случае, как мы видим, внутренняя задача
Неймана для уравнения Лапласа решения не имеет — решение
может существовать лишь тогда, когда выполнено условие (5).
В частных случаях однородного краевого условия или
однородного дифференциального уравнения должно выпол
няться соответственно одно из двух равенств:
Do'stlaringiz bilan baham: |
