И здан и е второе, стереотипное

§ 1. Постановка задач
Будем рассматривать два типа областей: 
конечные
и 
бес­
конечные.
В обоих случаях границу области будем предпола­
гать конечной; как всегда, граница предполагается состоящей 
из конечного числа кусочно гладких поверхностей (рис. 
12 
и 13). В последующих главах иногда — это будет каждый раз 
особо оговариваться — будут рассматриваться так называемые 
полубесконечные
области, границы которых бесконечны. Про­
стейшим примером полубесконечной области является полу­
пространство.
Краевая задача для эллиптического уравнения называется 
внутренней,
если искомая функция должна быть определена 
в конечной области, и 
внешней,
если эта функция должна 
быть определена в бесконечной области.
Важнейшими краевыми задачами для эллиптического урав­
нения второго порядка являются 
задача Дирихле
(первая 
краевая задача) и 
задача Неймана
(вторая краевая задача).
Рассмотрим эллиптическое уравнение общего вида
-
■
4
»
4
^
+
л
*
э%
+
л
> " =
Р
( д
: ) '
( , )
Внутреннюю задачу Дирихле
для этого уравнения сфор­
мулируем следующим образом.
Пусть 2 — конечная область с кусочно гладкой границей 
Г и <р(х)— функция, заданная и непрерывная на границе Г. 
Требуется найти решение уравнения (1), которое принадле­
жало бы классу 
С{2)(Й) П 
С (
2
) и совпадало бы на границе 
с заданной функцией <р(л-):
и (х ) =
<р (х), 
х
£ Г. 
(2)

---

Внутреннюю задачу Неймана
для того же уравнения (1) 
сформулируем таким образом.
Найти решение 
и (х )
уравнения (
1
), обладающее свой­
ствами: гг 
£
С (4) (2 ) f] С (2 ); на множестве тех точек 
х
£ Г , 
в которых существует нормаль v к поверхности Г, выпол­
няется равенство
декартовы координаты этой точки, а ф (х) — функция, задан­
ная на упомянутом множестве точек поверхности Г.
Краевое условие задачи Неймана мы будем ниже записы­
вать короче в виде
Запись (3 i) можно понимать буквально, если « £ С (1) (2 ).
Если 
A jk — bjk,
то старшие члены уравнения (1) образуют 
оператор Лапласа; само уравнение принимает вид
Краевое условие (3i) принимает в этом случае особенно простую 
форму:
З а м е ч а н и е . Приведенные выше формулировки краевых задач 
Дирихле и Неймана не являются совершенно общими. Так, например, 
можно рассматривать случай, когда в краевом условии (2) задачи 
Дирихле функция <
р (х ) разрывна на Г. В этом случае нельзя требо­
вать, чтобы u £ C ( Q ) , — это условие надо заменить некоторым 
другим; краевое условие (2) должно выполняться только в точках 
непрерывности функции <
р (х ). Можно также отказаться от требо­
вания кусочной гладкости границы.
Внешние задачи
отличаются от соответствующих внутрен­
них только тем, что на неизвестную функцию накладывается 
добавочное требование
lim 
AJk
( * ')
cos (v, 
x k) —
<
J>
(x). 
(3)
X ' - I - X
u * k
Здесь 
x '
— точка, лежащая внутри 2 на нормали v, 
х\
—
(3,)
- Д “ + Л * ^ + А,
t i= F (x ).
(4)
(5)
и
i x
) —
О  ( р
^
р
^
т
) > 
X
-
+
0 0
.
(
6
)

---