И здан и е второе, стереотипное

ди
„ да 
\ 
ди 
ди 
. 
ди
, 
1
.ди
Ш>
^ =
sm9
w + T c o s e ^
и далее
д 2и 
2 а д: и
2 
п . А 
д*а ,
^ - С О З в —
— - С
05
в в т в ^ +
. 1
. . . дги , sin’
0
ди 
sin 
20
ди
+ 7 “ * « ■ + —
* ------ ? ■ * .
^ ; = л > р ^ “ +
2
я .
1
й
1
« Й г +
оу
ор 
р 
dpd
0
~
. 1
. . дги
, cos
s8
ди . sin 
20
ди
+
7
C
0
S’
9
d P + —
Т? + ~ Г д г
Теперь
. __<Ри . д3и __ д‘и 
1
ди 
1
д3и
дл.3
' дуг 
dps 
р dp 
ps dO8 '

---

В уравнении (10) левая часть не зависит от 0, а правая —
от р; будучи равными между собой, обе части уравнения (
10
) 
не зависят ни от р, ни от 
0
и, следовательно, равны некото­
рой постоянной, которую мы обозначим через л2. Теперь 
уравнение (
10
) распадается на два обыкновенных дифферен­
циальных уравнения
ср"(е) + л
2
<р(
6
) =
0
(
11
)
и
П р ) + 7 / ( р ) + ( * ~ ? ) / ( р ) = а
( 12>
Общий интеграл уравнения (11) имеет вид
<р (
0
) = Q cos л0 -f- Са sin л0. 
(13)
Функция (
8
) должна быть однозначной функцией точки на 
плоскости, поэтому я должно быть целым числом. Д оста­
точно рассматривать лишь неотрицательные п — изменение 
знака п отразилось бы только на постоянной С4.
Общий интеграл уравнения (12) выражается через функ­
ции Бесселя')
/ ( р) = с у „ ( /Х р ) +
с 4 
Уп
( /Х р ).
П о определению собственная функция задачи Дирихле 
принадлежит энергетическому пространству 
(§ 3 гл. 14)
и, следовательно, первые производные этой функции сумми­
руемы с квадратом в круге р < ^ 1 . Функция Бесселя второго 
рода У„ ( / X р ) этим свойством не обладает, поэтому необ­
ходимо Q = 0. Значение постоянной С
3
для дальнейшего 
несущественно (необходимо только, чтобы Сз ^
0
), и мы 
положим С
3
= 1. Теперь
/ ( р) = = Л ( / ^ р ) -
Из условия (9) следует теперь, что
А = /я .* >
( 14)
где 
есть fc-й положительный корёнь функции Бесселя
первого рода Jn. Окончательно