И здан и е второе, стереотипное

f(?) = JnUn.kP)-
( 15)
*) Обозначения функций 
Бесселя 
соо тветству ю т 
принятым 
в книге: Г. Н. В а т с о н , Теория бесселевы х функций, ИЛ, 1949

---

Формулы (1 3 )— (15) позволяют заключить, что числа
Л * ;
« =
0
,
1
,
2
, . . . ;
к —
1 , 2 , 3 , . . . ,
(16)
суть собственные числа задачи Дирихле для оператора Лап­
ласа в единичном круге; каждому из чисел /о,* соответствует 
одна собственная функция
Л (jo. Ар). 
(17 ,)
каждому собственному числу 
А, п 
0
, соответствуют две 
собственные функции
Л
(Jn, 
и?)
cos «9, 
Jn
(/„, 
*р) sin л0. 
(
1
7,)
Если 
через 2 обозначить круг р < ^
1
, то в Ц ( 2 ) функ­
ции (17 ) ортогональны (но не нормированы) и образуют 
полную систему, — и то, и другое вытекает из известных 
свойств 
функций 
Бесселя и 
из соображений о полноте 
системы произведений (теорема 7.2.2). Отсюда следует, что 
формулы (16) и (17) исчерпывают всю совокупность с о б ­
ственных чисел и собственных функций задачи Дирихле для 
уравнения Лапласа в круге.
З а м е ч а н и е .
Собственные функции задачи Дирихле для 
оператора Ланласа в случае шара лю бого числа измерений выра­
ж аю тся через бесселевы и сферические функции.
§ 4. Оценка р о ст а со б ст в е н н ы х чисел
1
. 
У р а в н е н и е
Л а п л а с а
в 
/ я - м е р н о м
к у б е .
В //г-мерном кубе Q, определяемом неравенствами
a, 
k
=
1
, 
2
, . . . , т,
собственные числа задачи Дирихле для уравнения Лапласа 
равны (формула (
3
.
4
))
т
ч » . • • • »т=
ь
2
w
А = I
Числа (
1
) расположим в порядке возрастания (точнее, 
неубывания) и 
будем 
их обозначать через Х„, так 
что 
Наша задача заключается в том, 
чтобы дать 
оценку порядка роста величины 
при п —> оо.

---

Несколько удобнее будет оценивать не числа 
а числа
т