И здан и е второе, стереотипное

условию конуса.
Рис. 27.
Введем в рассмотрение функ­
цию ^ (f) вещественной переменной t, бесконечно дифферен­
цируемую на сегменте 0 
^
1
, причем
Ф ( 0 = !>

---

Такую функцию можно построить, усреднив, например, функцию
1
. < < т .
О, ( > т
с радиусом усреднения
Пусть и ^ С (1) (2). Возьмем в S точку х  и построим 
шаровой сектор с вершиной х, лежащий в 2 . Введем сфе­
рические координаты ‘ ) т
 — \х — %\,
ftj, &а, . . . .
с цент­
ром в точке х\ эти координаты выберем так, чтобы кони­
ческая 
поверхность 
шарового 
сектора 
имела 
уравнение 
&i = a. Положим
v 
(5) = v (г, 
6
) = v (г, &!, 
......... 9OT_t) = и (
5
) i|> Щ
. 
(
1
)
Очевидно,
г>(0, 
6
) = и(лг), 
v(R ,
6
) = 0, 
(2)
dv
f t ( г \ д и { $
Тг
= « ( « ) s r -  + Ф Щ
• 
О )
Из формул (2 ) вытекает, что
R
« (.* ) = —
J 
T rdr'
( 4)
о
Равенство (4) проинтегрируем по той части 5,' единичной 
сферы S\, в которой 
0
=^ bt sg: а (т. е. по той ее части, к о­
торую
вырезает боковая поверхность ш арового сектора). 
Левая часть при этом умножится на положительную постоян­
ную А =
разделив на Ь, получим формулу
“ < * > = — H
i
*
"
' -
—
<5>
V 
V
х
ух
здесь Vx — шаровой сектор с вершиной х.
*) Мы предполагаем здесь, что от > 2 ; последующие рассужде­
ния нетрудно видоизменить и для случая m — 
2
,

---

Sv
Заменим 
по формуле (3). Примем во внимание, что 
ди 
ди 
,е
v
дг- = Жк С05^ ' Г)-
Здесь 
Ъ
к
— фиксированные 
декартовы 
координатные оси. 
Введем еще обозначения
Вй{х,
6
) =
Вк(х,
Е) =
_ ± 1 Ш
E€ v
Ь 
дг 
• 
* ^ Ух'
О, 
S ^
Vx\
— у ф ( J ) c o s (^> О- 
О, 
I ^ Vх,
6
=
1
, 
2
......... т;
функции В0(х, 5) и Вк(х, $), очевидно, ограничены. Теперь 
формуле (5) можно придать вид
(
6
)
а 
Ь
Это и есть интегральное представление С. Л. Соболева.
Для дальнейшего важно, что интегралы (
6
) суть вполне непре-
ди
рывные операторы в 
(2 ) над ч и щ  соответственно. Действи­
тельно, при r < C i f функция В0(х, 5) = 0, ядро первого
интеграла (
6
) ограничено и этот интеграл есть оператор 
Фредгольма над и. Что касается остальных интегралов (
6
), 
то они суть интегральные операторы с о слабой особенностью
ди
над производными
В последующих параграфах настоящей главы предпола­
гается, что область 
2
конечна и удовлетворяет условию конуса.
Представление (
6
) получено для функций класса С (1) (2 ). 
Нетрудно распространить это представление на функции, 
которы е в 
2
суммируемы и имеют обобщ енные первые 
производные, суммируемые с некоторой степенью р ^ >  1. Мы 
предоставляем это сделать читателю.

---

З а м е ч а н и е . Представление (6) на самом деле есть частный 
случай более общ его представления, полученного С. Л. Соболевым 
(см. [18], [19]). И нтегральное представление С. Л. С обол ева по­
служило основой для вывода теорем вложения (§ 5 гл. 2).
§ 4. И сследование оп ератора 9?0
Положим
где / — тождественный оператор в пространстве 1
9
(2 ). Оче­
видно, D (9 ii) = D (9 (0). Далее,
и оператор 
9
?, положительно определенный.
Повторяя рассуждения § 3 гл. 14, легко доказать, что 
функции, входящие в энергетическое пространство / % опе­
ратора s3f]. суммируемы в области 
2
с квадратом, имеют 
в этой 
области обобщенные первые производные, также 
суммируемые с квадратом, и что для энергетической нормы 
и энергетического произведения справедливы формулы, выте­
кающие из соотношения (
2
):
Докажем, что спектр оператора 9?, дискретен.
В силу теоремы 6.6.1 достаточно доказать, что любое 
множество функций, ограниченное в энергетической метрике 
оператора 9?j, компактно в Z
4
(
2
) или, что т о же, в 
2
). 
Пусть множество М  d
и пусть
9г
1
= = 9?о + Л
0
)
(9?! 
п, и) =
 (9? 
и, и)