И здан и е второе, стереотипное

i 
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
I
§ 1. О бобщ ен н ое решение 
Рассмотрим уравнение
-
Щ ( А>‘  <•*> ъ г )  + в * W щ +  с м —
/ М
(1 )
и поставим для него задачу Дирихле
к |
г = 0, 
(2 )
где Г — кусочно гладкая граница конечной области 2 в про­
странстве Ет переменных x v Xq,. . . , х т. Будем предполагать, 
что
Л ,* £ С « > (2 ); 
В„,
С £ С ( 2 ) ,
а также что наше уравнение — невырожденное эллиптическое 
в 
2
, так что
т
А]к
(-*) tjtk ^ [а
0
2
t%, цо = const >
0
.
«=>1
Введем в рассмотрение задачу с формально самосопря­
женным эллиптическим выражением в левой части
<з)
оператор этой задачи обозначим через 2(. В гл. 14 было 
выяснено, что оператор 3( положительно определенный, поэтому 
если / ^ I j (
2
), то у задачи (3) сущ ествует обобщ енное ре­
шение щ, принадлежащее энергетическому пространству / % ,
Таким образом, каждому элементу /£ j;/,a ( 2 ) приводится в 
соответствие элемент 
j — обобщ енное решение задачи (3 ).

---

Э то соответствие порождает оператор, который мы обозна­
чим через (к
O f =
«о- 
(4)
Очевидно, D (
0
) = £ s (
2
) и R ( G ) C 7 % .
Оператору О можно дать явное выражение: если {и>„} — 
полная ортонормированная в 
система, то (см. формулу
(5.11) гл. 5)
ОО
0 / = щ =  2 ( / , (0„) (1)„. 
(5)
и = 1
П о определению оператор О действует из Ц  ( 2 ) в Я 3(; ясно, 
что О можно рассматривать и как оператор, действующий 
из Z-a (
2
) в Z.J (
2
).
Обобщенное решение н
0
реализует минимум функционала
F (h ) = [h, н ],[ —
2
(гг, / )
и, следовательно, обращает в нуль его вариацию:
(U
q
, т\)
=
2 [н0, 
Т|]эд----
2 
( f ,
Tj) =
0 ,
Заменяя здесь ий на О/, получим формулу
[G/,T)bl = (/,T]) 
(
6
)
верную для любых элементов f ^ L .2 (
2
) и