И здан и е второе, стереотипное

1*= 2 ' 4 ^ - = ^
1
* = п
+1
к 
=
В си лу н еравенства Б ессел я
Отсюда
и, следовательно,
1< £ | < Г - - 1
Лп+
1
/I—
.со
\Q -Q nl
->
0
.
В
-.00
Т еп ер ь оператор 
О
вполне непрерывен в 1
2
( 2 ) как пре­
д ел (в см ы сле сходим ости по норме) вполне непрерывных 
оп ер атор ов.
Т е о р е м а 1 7 .2 .1 . 
Оператор Т — О К вполне непрерывен
в
/ % .
О ператор О вполне непрерывен в £ а ( 2 ) , поэтому если 
М
— м н ож ество, ограниченное в Z.a(Q), то из эт о го множе­
ства м ож но вы делить такую последовательн ость {г>„}, что 
п осл ед овател ьн ость 
{Qvn}
сходится и, следовательно,
|
Gvn
—
Gvk
I - > 0.
п ,k-*-co
Рассм отрим теперь произвольное множ ество 
огра­
ниченное в эн ергетической метрике:
I
и
1
и ^
а<
V
а
= con st.
Д о к аж ем , что если элемент и пробегает м н ож ество 
N,
то 
Ки
пробегает м н ож ество 
K(N
), ограниченное в £ а (!2). Дей­
стви тельн о,
m
«
9
^
8
« III = |j 
Д
( Ц ) *
d x =

---

О тсю да
ди
I 
дхк \
В то же время
где 
1
— нижняя грань оператора 
2
{.
Б ы л о предположено, что коэффициенты 
Вк(х}
и 
С (х) 
непрерывны и, следовательно, ограничены в замкнутой обл а­
сти 2 ; пусть | 
Вк
( х ) | s g
b,
| C ( jc ) | 
Ь, Ь —
const. Т огд а
'Л =
1
'
что и требовалось доказать.
Как было указано выше, из ограниченного в £ j ( 2 ) м н ож е­
ства 
К (N)
можно 
вы брать 
такую
п оследовательн ость 
{Кг>п}> что
\\GKvn - GKvk \ = \Tvn - Tvk \
- > 0. 
( 3 )
h, n-+
oo
Соотнош ение (
3
) означает, что 
Т
вполне непрерывен к ак
оператор из 
и 
Ц
(2 ) . О стается показать, что 
Т
вполне 
непрерывен как оператор иэ 
Н%
в 
Н%.
Д л я 
этого д о ст а ­
точно показать, что
\Tvn- T v h^
- >
0
. 
( 4 )
п, к—со
Оценим квадрат последней нормы. И спользуя формулу
(
1
.
6
), получим
\Tvn — Tvk fy = [T(vn
-
vk), Т (vn
-
г>Л)}я = |
GK(v
n - * * >
Т (v„
— „ * ) ]„ =
(Kvn
-
Kvk, Tvn
—
Tvk)
^
==S || 
Kvn- Kvk
(I • | 
Tvn
—
Tvk
|| ^
2c
| 
Tvn
- 7
^
- ^ 0 .
Т е о р е м а доказана.
Рассм отри м при том ж е краевом условии ( 1 .2 ) уравнение, 
н еск о л ьк о более общ ее, нежели уравнение (
1
.
1
):

---

Очевидно, что эта задача сведется к такой:
и
- f
-\Tu = F.
(
6
)
Из ранее развитой общей теории (см. раздел III) следует, 
что сущ ествует не более чем счетное м н ож ество характери­
стических чисел этой задачи, которы е могут сгущ аться лишь 
на бесконечности; для всех остальны х X решение уравнения 
( 5 ) су щ ествует и единственно. Если ж е X характеристическое, 
то, вообщ е говоря, решение не сущ ествует. В э ю м случае 
для его сущ ествован ия необходимо и достаточно, чтобы фун­
кция 
F
уд овлетво р ял а конечному числу условий ор тогон аль­
ности. Именно, если 
wl,w.l,...,w s
суть собственны е функции 
уравнения 
w
- j-
\T*w =
0
, то для разреш имости уравнения (
6
) 
необходимо и д остаточн о, чтобы
[F,Wj\% = Q,
/ '=
1
, 
2
, . . . , s.
П оследн ее усл ови е, на основании формулы (
1
.
6
) и соо тн о­
шения 
F = G f ,
м ож ет быть записано в виде
(/, 
wj)
= 0, 
j —
1 , 2 , . . . , s. 
(7 )
Е сли у сл ови е ортогональности выполнено, то обобщ енное 
реш ение сущ еству ет, но оно не единственно. Действительно, 
п усть выполнены условия ортогональности и м
0
— какое-либо 
частное реш ение уравнения (
6
). Тогда 
и
= н
0
-)- и, где и — общ ее 
реш ение со о тветству ю щ его однородного уравнения
и-\-\Ти = 0
(
8
)
и имеет вид и — У , 
с fit/.
Здесь 
Cj
— произвольны е постоян-
ные, a 
iij
— линейно независимые решения уравнения (
8
).
В се сказан н ое относительно задачи Дирихле справедливо 
и для задачи Неймана, если положить 
8
f = 9?i, гд а
— опе­
ратор, рассмотренный в § 
4
гл. 16.