И здан и е второе, стереотипное

[ик,
г«А 
1?1 = I 
« А
|л =
^А- 
(4)
Система собственных функций {н„} полна в каждом из про­
странств Lt (S ) и Щ .
§ 3. Элементарные случаи
Построить фактически спектр положительно определенного 
оператора, опираясь на теорему 
6
.
6
.
1
, чрезвычайно трудно. 
Э то видно хотя бы из того, что при этом приходится выде­
лять 
из минимизирующей последовательности сходящуюся 
подпоследовательность. Поэтому представляют интерес част­
ные примеры, в которы х спектр задачи Дирихле удается по­
строить явно. Ниже приведены примеры областей, для кото­
рых можно дать элементарные выражения собственных чисел 
и собственных функций задачи Дирихле для уравнения Ла­
пласа.
Дн -)- Хи —
0
, 
х
^
2
, 
и
|г = О
О )
(
2
)
(ир и„) =
8
,„ ; 
/ , £ =
1
,
2
, . . .
(
3
)

---

1. 
П а р а л л е л е п и п е д в п р о с т р а н с т в е / » и з м е р е ­
ний. Если п — натуральное число, то 
ф ункция 
вещественной 
переменной t
f,n(
0
= s' n ~
0
)
удовлетворяет дифференциальному уравнению 
tin
Ч----- пг-ггя =
0
и краевым условиям н „(0) = чп (а) = 0. Отсюда следует, что 
функция
т
Чп[Пз...п т(х )= = с
Л sin 
с —
const, 
(
2
)
ft = I
удовлетворяет дифференциальному уравнению
т
Д и -| -Х н = 0, 
\ =
2
* = I *
и обращается в нуль на поверхности параллелепипеда
0
<С-*
7
<<СаА>