И здан и е второе, стереотипное

Н$,
ограничен в Н%. Можно доказать, 
что для этого в свою очередь необходимо и достаточно су ­
ществование такого вектора F (x ), что / ( x ) = d iv F ( jf ) и 
||F(x)|| ^ Z.jj(2). Здесь дивергенция понимается в обобщенном 
смысле 
(аналогично 
обобщенной 
производной), а символ 
|F(jc)|| означает норму вектора F ( x ) в /я-мерном евклидо­
вом пространстве.
Можно указать более простое, но только достаточное 
условие: обобщенное решение задачи (
1
) — (
2
) существует, если 
размерность пространства т 
^>2
и если сводится интеграл
$'•* IV* (*)<**■
а
lim Ц ? ”
О
\ \ и п
J*
inf 
<
^
=
0
. 
uZD№)
II “ II
(
6
)

---

УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что ряд (4.8) можно дважды дифференцировать 
почленно, и это приводит к рядам, сходящ имся в метрике £ а. Вы­
вести отсюда, 
что 
при / £ £ а (!2) обобщ ен н ое решение задачи 
(4.3)
—
(4.4) 
имеет в ю р ы е обобщенные производные, суммируемые 
с квадратом в 2.
2. Доказать, что энергетическое пространство 
Н
^
оператора
(§ 7) состои т из тех и только тех функций, которы е удовлет­
воряю т следующ им условиям:
1) как сами функции, так и их всевозмож ны е обобщ енны е про­
изводные порядка s g s принадлежат классу 
L%
(£2);
2) эти функциии удовлетворяют краевым условиям (7.2) в ука­
занном ниже смысле: для любой функции 
сущ ествует по­
следовательность функций 
un ( x ) £ C ts> (Q),
удовлетворяю щ их усл о­
виям (7.2) и предельным соотношениям
I! д* (ип — и) 
||____^ 
0
II с)*;, 
д х ^ . . . д х 1к
II Л -со
З десь норма берется в смысле метрики 
L3 (Щ, k — 0,
1, . . . , s, 
а значки 
lL, lt,
пробегаю т независимо друг от друга значе­
ния 
I, 
2
..........т.
3. П ростейш им эллиптическим уравнением порядка 2s является 
так называемое 
поли гармоническое
уравнение
( — 1)* Д*м 
= / ( х ) .
Сингулярным решением однородного полигармонического уравнения
Д *(/ = 0
называется функция
( 
cris~m
In — , 
in
— четное, 2s >
т, 
v ( x ,