И здан и е второе, стереотипное

т.
“ п (х) ■
■
(т
— 2) |S, | J 
Я* rm
—>d\.
При n - > о о левая 
часть последнего равенства стремится 
к и (
jc
)
в метрике 1 а (2 ). Одновременно в той же метрике

---

§ 2] 
С П Е К Т Р ЗА ДАЧИ Д И Р И Х Л Е Д Л Я К О Н Е Ч Н О Й ОБЛ А СТИ
323 
^
. Интегральный оператор справа ограничен, и можно
oh
о?* 
•
_
перейти к пределу под знаком интеграла, э т о опять приве­
дет нас к формуле (4), но установленной уже для функций 
из пространства Я ?(.
§ 2. С п е к т р задачи Д ирихл е для к о н е ч н ой о б л а с т и
Т е о р е м а 15.2.1. В случае конечной области с кусочно 
гладкой границей оператор задачи Дирихле для невыро-
ждающегося самосопряженного эллиптического уравнения
имеет дискретный спектр.
Пусть М  — ограниченное множество в пространстве / % :
1
а
 1я 
^ с =
 const> 
V « G м
По формуле (3.3) гл. 14 имеем
2
Из соотношения (2.3) гл. 14 вытекает теперь неравенство
J 2 ( & ) • ' « £ ■
Тем более,
1
£
1
-
'
Таким образом, производные функции и ^ М образуют мно­
жество, ограниченное в Z,
4
(2). Интегральный 
оператор (1.4) 
Он
есть оператор от 
, вполне непрерывный в 
(
2
) (теорема
7
.
3
.
2
); он преобразует указанное выше множество производ­
ных в о множество, компактное в Lt (2). Но это последнее 
множество совпадает с М, потому что оператор (1.4) во с­
станавливает любую функцию из М по ее первым производ­
ным. Отсюда следует, что множество М компактно в 
пространстве
Ls (
2
).
Итак, любое множество, ограниченное в Я к о м п а к т н о
в Z.
9
(S ). По теореме 6.6.1 оперетор 51 
имеет дискретный 
спектр.
1 1
*

---

Из доказанной только что теоремы и теоремы 6.6.1 выте­
кает следующее утверждение:
С ущ ествует счетное множество {*.„} значений параметра А, 
для которы х задача
имеет нетривиальное решение. Значения А„ суть собственные 
числа оператора задачи Дирихле (короче, собственные числа 
задачи Дирихле), а соответствующие нетривиальные решения 
задачи (
1
) суть собственные функции, отвечающие собствен­
ному числу 
Каждому собственному числу отвечает только 
конечное число линейно независимых собственных функций. 
Будем повторять каждое собственное число столько раз, 
сколько ему соответствует собственных функций. Все соб­
ственные числа 
и
Систему { ип} собственных функций можно считать ортонор- 
мированной в £
9
(
2
)
Она также ортогональна, но не нормирована и в Н%, а 
именно
[Иу, 
« А
Ьл = 0,