|
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Индивидуальные задания
-
Пособие разработано ст. преп. Смышляевой Т. В.
Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ |
Пермь 2007
Вариант решения заданий
Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции
Решение:
Придаем аргументу произвольное приращение и, подставляя в данное выражение функции вместо наращенное значение , находим наращенное значение функции
В данном случае
Находим приращение функции
Делим приращение функции на приращение аргумента, т. е. составим отношение
Ищем предел этого отношения при . Этот предел и даст искомую производную от функции ;
Производная сложной функции
Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.
Найти производные следующих функций:
Решение:
а) Производная неявной функции
Найти для данной неявной функции
Решение:
Дифференцируем по обе части равенства, где есть функция от , получим .
Учитывая, что , получаем
б) Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование полезно применять для нахождения производной от показательно - степенной функции , где - функции от и когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня).
Найти производные следующих функций:
Решение:
Применяется логарифмическое дифференцирование, последовательно находим:
в) Производная от функции, заданной параметрически
Производная
Найти производную для функции, заданной параметрически
Решение:
Найдем . Следовательно,
Показать, что функция обращает уравнение в тождество.
Решение:
Выразим в явном виде . Найдем
Подставляем и в левую часть уравнения, получаем
Подставляем в правую часть равенства, получаем
, что и требовалось доказать.
Производные высших порядков
а) Производная явной функции
Решение:
Дифференцируя функцию , получим .
Дифференцируя производную , получим
б) Производная неявной функции
Для данной неявной функции найти .
Решение:
Дифференцируем по обе части равенства, где есть функция от , получаем
Отсюда найдем .
Найдем :
Подставляем в левую часть найденную производную , получаем:
.
Учитывая, что , получим или
Производная от функции, заданной параметрически
Для функции, заданной параметрически, найти .
Решение:
Находим производные по параметру .
Далее находим производную от , а затем искомую вторую производную от как отношение производных от и от .
Касательная и нормаль к кривой
Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат, то уравнение касательной и нормали к ней в точке имеют вид:
, где - значение в точке производной из уравнения кривой.
Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке, где .
Решение:
При , , получаем точку
Найдем
При , получаем .
Уравнение касательной:
Уравнение нормали:
Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.
Теорема Ролля
Если функция :
непрерывна на отрезке [a, b]
имеет конечную производную в каждой точке интервала (a, b)
принимает равные значения на концах отрезка, , то в интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка с, в которой производная функции обращается в нуль: .
Функция на концах отрезка [0, 4] принимает равные значения .
Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?
Решение:
Найдем . При , не существует. Нарушено второе условие теоремы Ролля.
Теорема Лагранжа.
Если функция :
непрерывна на отрезке [a, b]
имеет конечную производную в каждой точке интервала (a, b), то найдется по крайней мере одна внутренняя точка с интервала (a, b), , для которой .
Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функции и найти соответствующее промежуточное значение с.
Решение:
Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений , причем . Отсюда по формулам Лагранжа имеем
Следовательно, ; годится только значение , для которого справедливо неравенство .
Теорема Коши.
Пусть функции удовлетворяют следующим условиям:
непрерывна на отрезке [a, b]
имеют конечные производные во всех точках интервала (a, b)
для любого , то внутри отрезка [a, b] найдется такая точка , , что
Проверить справедливость формулы Коши для функций на отрезке [1; 2].
Решение:
Функции непрерывны и дифференцируемы при всех значениях . Производные данных функций равны соответственно . На отрезке [1, 2], .
Тогда между двумя значениями и существует значение , удовлетворяющее равенству
.
Вариант 1
Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции
Найти производную сложной функции
Показать, что функция удовлетворяет уравнению
Найти
Do'stlaringiz bilan baham: |
