Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Индивидуальные задания

Пособие разработано ст. преп. Смышляевой Т. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007
Вариант решения заданий

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции
   

Решение:

1. 
   Придаем аргументу произвольное приращение и, подставляя в данное выражение функции вместо наращенное значение , находим наращенное значение функции
   

В данном случае

2. 
   Находим приращение функции
   

3. 
   Делим приращение функции на приращение аргумента, т. е. составим отношение
   

4. 
   Ищем предел этого отношения при . Этот предел и даст искомую производную от функции ;
   

2. 
   Производная сложной функции
   

Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

Найти производные следующих функций:


Решение:

2. 
   а) Производная неявной функции
   

Найти для данной неявной функции
Решение:
Дифференцируем по обе части равенства, где есть функция от , получим .
Учитывая, что , получаем

б) Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование полезно применять для нахождения производной от показательно - степенной функции , где - функции от и когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня).
Найти производные следующих функций:

Решение:
Применяется логарифмическое дифференцирование, последовательно находим:



в) Производная от функции, заданной параметрически

Производная
Найти производную для функции, заданной параметрически
Решение:
Найдем . Следовательно,

2. 
   Показать, что функция обращает уравнение в тождество.
   

Решение:
Выразим в явном виде . Найдем
Подставляем и в левую часть уравнения, получаем
Подставляем в правую часть равенства, получаем
, что и требовалось доказать.

2. 
   Производные высших порядков
   

а) Производная явной функции

Решение:
Дифференцируя функцию , получим .
Дифференцируя производную , получим
б) Производная неявной функции
Для данной неявной функции найти .

Решение:
Дифференцируем по обе части равенства, где есть функция от , получаем
Отсюда найдем .

Найдем :

Подставляем в левую часть найденную производную , получаем:
.
Учитывая, что , получим или

2. 
   Производная от функции, заданной параметрически
   

Для функции, заданной параметрически, найти .

Решение:
Находим производные по параметру .


Далее находим производную от , а затем искомую вторую производную от как отношение производных от и от .

5. 
   Касательная и нормаль к кривой
   

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат, то уравнение касательной и нормали к ней в точке имеют вид:
, где - значение в точке производной из уравнения кривой.

Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке, где .
Решение:
При , , получаем точку
Найдем
При , получаем .
Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

6. 
   Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.
   

Теорема Ролля
Если функция :

1. 
   непрерывна на отрезке [a, b]
   
2. 
   имеет конечную производную в каждой точке интервала (a, b)
   
3. 
   принимает равные значения на концах отрезка, , то в интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка с, в которой производная функции обращается в нуль: .
   

Функция на концах отрезка [0, 4] принимает равные значения .
Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?
Решение:
Найдем . При , не существует. Нарушено второе условие теоремы Ролля.


Теорема Лагранжа.
Если функция :

1. 
   непрерывна на отрезке [a, b]
   
2. 
   имеет конечную производную в каждой точке интервала (a, b), то найдется по крайней мере одна внутренняя точка с интервала (a, b), , для которой .
   

Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функции и найти соответствующее промежуточное значение с.
Решение:
Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений , причем . Отсюда по формулам Лагранжа имеем

Следовательно, ; годится только значение , для которого справедливо неравенство .


Теорема Коши.
Пусть функции удовлетворяют следующим условиям:

1. 
   непрерывна на отрезке [a, b]
   
2. 
   имеют конечные производные во всех точках интервала (a, b)
   
3. 
   для любого , то внутри отрезка [a, b] найдется такая точка , , что
   

Проверить справедливость формулы Коши для функций на отрезке [1; 2].
Решение:
Функции непрерывны и дифференцируемы при всех значениях . Производные данных функций равны соответственно . На отрезке [1, 2], .
Тогда между двумя значениями и существует значение , удовлетворяющее равенству
.
Вариант 1

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению
   
5. 
   Найти