Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции

а) в)
б)

6. 
   На окружности найти точки, где касательная параллельна прямой .
   
7. 
   Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на отрезке [-1,1].
   

Вариант 21

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению
   
5. 
   Найти
   

а) в)
б)

6. 
   Найти уравнения касательной и нормали к астроиде в точке, где .
   
7. 
   Построить кривой на отрезке . Почему на дуге нет касательной, параллельной хорде АВ? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?
   

Вариант 22

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению
   
5. 
   Найти
   

а) в)
б)

6. 
   На кривой найти такие точки, где касательная параллельна оси ОХ.
   
7. 
   Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на отрезке [0, ].
   

Вариант 23

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению
   
5. 
   Найти
   

а) в)
б)

6. 
   Найти уравнение той касательной к параболе , которая образует угол в 45° с осью ОХ.
   
7. 
   Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке [0, а]; n >0, а> 0.
   

Вариант 24

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению
   
5. 
   Найти
   

а) в)
б)

6. 
   В какой точке касательная к параболе образует с прямой угол в 45°?
   
7. 
   Построить дугу кривой на отрезке . Почему на дуге нет касательной, параллельной хорде АВ? Какое из условий теоремы Рояля здесь не выполнено?
   

Вариант 25

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению
   
5. 
   Найти
   

а) в)
б)

6. 
   При каком значении независимой переменной касательные к кривым и параллельны?
   
7. 
   Показать, что производная функции имеет действительный корень в интервале (-1, 1).
   

Вариант 26

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

3. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
   
4. 
   Найти
   

а) в)
б)

3. 
   Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .
   
4. 
   Построить график функции . Взяв на нем точки О(0; 0) и В(2; 1) показать, что между О и В на графике функции нет точки, касательная в которой была бы параллельна ОВ. Какие условия теоремы Лагранжа для этой функции на отрезке [0; 2] выполнены и какие нет?
   

Вариант 27

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции .
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

8

3. 
   Найти
   

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
   
5. 
   Найти
   

а) в)
б)

6. 
   Написать уравнения касательных к гиперболе в точках и и найти угол между касательными.
   
7. 
   В какой точке касательная к кривой параллельна хорде, стягивающей точки А(-2; 0) и В(1; 3)? Пояснить графически.
   

Вариант 28

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции .
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
   
5. 
   Найти
   

а) в)
б)

6. 
   Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .
   
7. 
   Показать, что на отрезке [-1; 2] теорема Лагранжа неприменима к функции .
   

Вариант 29

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции .
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
   
5. 
   Найти
   

а) в)
б)

6. 
   В какой точке параболы нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла.
   
7. 
   Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на отрезке .
   

Вариант 30

1. 
   Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции .
   
2. 
   Найти производную сложной функции
   

3. 
   Найти
   

ё

4. 
   Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
   
5. 
   Найти
   

а) в)
б)

6. 
   Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t = 2.
   
7. 
   В какой точке касательная к кривой параллельна хорде стягивающей точки М₁(1; 0) и М₂(e; 1)?