И здан и е второе, стереотипное

(Щи, v
) — (и, ЗЬ) — § Ajk 
—
cos (v, х ,) dV. 
г
В силу равенств (9) интеграл справа равен нулю. Тож дество 
(
7
), а с ним и симметричность оператора 3( доказаны. 
Остается доказать неравенство (
8
). Имеем
(3(ы, u) — (Lu, и) = — ^ 
Cu*dx.
К первому интегралу применим первую формулу Грина (ф ор­
мула (6.5) гл. 10). В силу краевого условия (
6
) интеграл по 
поверхности исчезнет, и мы получим
( * “ • » ) = \ [ A» & l &
+ o f ] d*
<10> 
Интеграл (10) оценим снизу. Прежде всего, отбросим не­
отрицательное слагаемое 
Сн*. Далее, воспользуемся нера­
венством (3), положив в нем (к —
. 
ди ди
v i I ди 
\9
,к dxjdxh' 
2mi ' дхк} * 
А** \
Теперь
(31м, «)^ | * о J 
2
{ £ $ dx'
я
Для функции u ^ D ( 31) очевидным образом справедливо 
неравенство (1.2) Фридрихса, и окончательно
(31н, н )
3
г -- I иг dx =
— || и ||4. 
(
12
)
%
.) 
%
\

---

Неравенство (
8
) установлено ^со значением постоянной f
2
—
—
тем самым доказано, что 51 — положительно опреде­
ленны Н оператор.
З а м е ч а н и е .
Оператор $( положительно определен и 
тогда, когда С ( х ) = 0. Это позволяет несколько ослабить 
условие (4). Обозначим через $(„ тот оператор, в который 
превращается оператор ?{ при С (х ) =  
0
, и пусть 
^ ^ > 0
—
нижняя грань оператора 3t„. Тогда
(910
и
, '
и
) ^ 7 Л |
и
||*
Очевидно, ЭДя = 2 1 „и -{-С (х )н . Отсюда
(й « , н > = (2 (
0
и, M ) - f (Си, h)$s-Jo jj и у®-)-(См, и).
Допустим, что С ( х ) удовлетворяет неравенству
€ (* )= & е — т;,
где е — положительная постоянная. Тогда
(Си, w) — J С ( х ) к
4
( х ) d x ^ ( s —  y“) J гг
2
( х ) dx — (& —  
|| и ||*.
s 
8
Подставив это в (13), найдем, что 
" >г
(
2
(н, к )
3
ге||и
||9
(16)
и оператор 91 положительно определенный. Таким образом, 
условие (4) можно заменить более слабым условием (15).