Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

2.8. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Пусть задан сигнал s(t), обладающий конечной энергией. Это означает, что интеграл:

∞
E = s²(t)dt, (2.72)
-∞
пропорциональный величине энергии сигнала, является сходящимся.
В дальнейшем мы будем называть E энергией сигнала, не уточняя размерности s(t) (ток, напряжение, напряженность поля и т.д.).
Выразим E через модуль спектральной плотности сигнала S(). C этой целью рассмотрим периодическую функцию s_пер(t), образованную путем повторения исходной функции с выбранным периодом T.
По отношению к этой непериодической функции может быть применена формула (2.30) для средней за период мощности сигнала:

причем амплитуда n-й гармоники S_n связана со спектральной функцией S() соотношением (2.39).
_____
Энергия сигнала за период T, очевидно, равна T s²_пер(t). Устремляя T к бесконечности и совершая предельный переход аналогично тому, как это
было сделано при выводе выражения (2.34), т.е. полагая и заменяя операцию суммирования операцией интегрирования, получаем окончательно:
(2.73)


Это выражение называется равенством Парсеваля.
В отличие от выражения (2.30) формула (2.73) определяет не среднюю мощность (которая для любой непериодической, абсолютно интегрируемой функции равна нулю), а полную энергию, выделяемую сигналом s(t) за все время его действия.
По виду функции [S()²] можно судить о распределении энергии в спектре непериодической функции, и потому формула (2.73) может быть использована для выбора полосы пропускания системы передачи информации, обеспечивающей достаточно полное использование энергии сигнала. В частности, при прохождении сигнала s(t) через систему передачи с полосой пропускания от 0 до ₁, энергия на выходе будет равна:
(2.74)
где s_вых(t) – сигнал на выходе системы передачи.