Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

2.10. Случайные сигналы и их аналитическое описание

В реальных условиях при передаче информации сигнал в месте приема заранее неизвестен и потому не может быть описан определенной функцией времени. То же самое можно сказать и о помехах, появление которых обусловлено самыми различными и чаще всего неизвестными причинами.

Таким образом, реальные сигналы и помехи представляют собой случайные процессы. Случайный процесс описывается случайной функцией, значения которой при любом значении аргумента являются случайными величинами. В отличие от детерминированной функции, однозначно определяющей и, таким образом, достоверно предсказывающей значение описываемой величины в любой заданный момент времени, ход случайной функции предсказан быть не может. Самое большое, что можно сказать заранее о поведении случайной функции – это вероятность, с которой она в будущем может принять тот или иной вид из множества возможных.
В ряде практически важных задач случайный процесс наряду с вероятностным описанием можно описать совокупностью неслучайных числовых характеристик, постоянных или меняющихся во времени. От этих характеристик требуется, чтобы в условиях конкретно поставленной задачи они отражали самое существенное случайного процесса.


1. Одномерный закон распределения мгновенных значений случайной функции и связанные с ним основные характеристики

Случайный процесс обозначим случайной функцией X(t), значения которой в любой заданный момент времени не могут быть точно предсказаны, т.е. являются случайными величинами. Определенный вид x(t), принятый случайной функцией X(t) в результате опыта, называют реализацией случайной функции или процесса (рис. 2.21).

Рис. 2.21. Реализация x(t) случайного процесса X(t)

Рис. 2.21. Совокупность (ансамбль) реализаций

Под опытом или испытанием понимается, например, однократное включение источника случайного процесса на некоторое время с соответствующей записью колебания. В результате многократного повторения опыта с данным источником можно получить множество реализаций процесса, внешне совершенно не похожих одна на другую. Для получения реализаций процесса таким путем необходима повторяемость условий испытаний. Во многих случаях повторяемость условий испытаний единственного источника не может быть соблюдена, так как параметры источника необратимо меняются во времени. В этих условиях следует оперировать понятием не единственного источника, а их множества. В результате опыта, предусматривающего параллельную работу источников, получаем множество реализаций. При этом источники могут быть неидентичными, их параметры имеют разброс и меняются во времени.

Случайный процесс полностью характеризуется бесконечным множеством реализаций, образующих ансамбль. Понятием ансамбля, состоящего из бесконечно большого числа реализаций (рис. 2.22), удобно пользоваться при установлении статистических закономерностей, свойственных случайным процессам. Совокупность мгновенных значений случайного процесса, заданного ансамблем, в произвольный момент времени называют сечением случайного процесса.
Если зафиксировать произвольный момент времени t₁ (рис. 2.22), т.е. получить сечение случайного процесса, то для этого сечения может быть вычислено распределение вероятности P(x) непрерывной случайной величины X(t₁):
(2.77)