Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

3. Треугольный импульс

Представленный на рис. 2.19а треугольный импульс определяется выражением:

(2.62)




Рис. 2.19. Определение спектральной плотности треугольного импульса

Прямое вычисление спектральной плотности треугольного импульса по формуле (2.35) несложно, но достаточно громоздко.

Воспользуемся свойствами преобразования Фурье (п. 2.6) и определим спектральную плотность функции, являющейся производной от заданного сигнала s(t). График производной показан на рис. 2.19б. Спектральная плотность положительного прямоугольного импульса длительностью _и/2 и

амплитудой по аналогии с формулой (2.60а) и с учетом сдвига середины импульса на время _и/4 относительно точки t=0:

Спектральная плотность отрицательного импульса (рис. 2.19б) соответственно:

Спектральная плотность двух импульсов:


(2.63)

Спектральная плотность треугольного импульса, являющегося интегралом от функции s’(t), получается делением предыдущего выражения (2.63) на j [см. (2.52)]:

(2.64)
Множитель – площадь треугольного импульса. График S() представлен на рис. 2.19в.


4. Бесконечно короткий импульс с единичной площадью (дельта-функция)


Рассмотрим импульс, у которого амплитуда обратно пропорциональна длительности (рис. 2.20). При стремлении длительности к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса остается неизменной и равна единице.


Рис. 2.20. Импульс, переходящий в дельта-функцию

При устремлении параметра x₁ к нулю функцию на рис. 2.20 можно определить следующим образом:

(2.65)
при одновременном условии:
∞
(x)dx = площадь импульса = 1. (2.66)