Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

-∞
Среднее значение квадрата случайной величины, или момент второго порядка:
_____
X²(t₁) = M₂[X(t₁)]
представляет в широком смысле мощность случайного процесса, которая выделяется на единичной нагрузке и характеризует его интенсивность. По определению момент второго порядка выражают формулой математического ожидания квадрата случайной величины:
∞
M₂[X(t₁)] =  x²p(x, t₁)dx. (2.81)
-∞
Вычитая из случайной величины X(t₁) ее среднее значение, получим новую, так называемую центрированную случайную величину:
____
X⁰(t₁) = X(t₁) – X(t₁).
Очевидно, что:
____
M[X(t₁) – X(t₁)] = 0.
Среднее значение квадрата центрированной случайной величины называют дисперсией:
M₂[X⁰(t₁)]= ²[X(t₁)]. (2.82)
Она характеризует мощность отклонений случайной величины от ее среднего значения, выделяемую на единичной нагрузке. Нетрудно установить, что:
∞
²(t₁) = M₂[X⁰(t₁)] =  x²p(x⁰, t₁)dx, (2.83)
-∞
где p(x⁰, t₁) – плотность вероятности случайной величины.
Дисперсия является мерой разброса значений случайной функции около среднего значения, поэтому величину (t) еще называют средним квадратическим уклонением.
____
Заметим, что X(t₁) отличается от X⁰(t₁) на неслучайную величину X(t₁). Поэтому законы распределения p(x, t₁) и p(x⁰, t₁) отличаются лишь смещением по x:
____
p(x⁰, t₁) = p[x – X(t₁), t₁].
Так как t₁ – произвольный момент времени, числовые характеристики можно понимать как функции времени:
M₁[X] = M₁[t]; M₂[X] = M₂[t]; M₂[X⁰] = ²(t).
Для стационарного процесса величины M₁[X], M₂[X], ² от времени не зависят.


2. Многомерный закон распределения мгновенных значений случайной величины и связанные с ним основные характеристики

Одномерная плотность вероятности недостаточна для полного описания процесса, так как она дает вероятностное представление о случайном процессе X(t₁) только в отдельные фиксированные моменты времени. Более полной характеристикой является двумерная плотность вероятности p(x₁, x₂; t₁, t₂), позволяющая учитывать связь значений x₁ и x₂, принимаемых случайной функцией в произвольно выбранные моменты времени t₁ и t₂.

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является n-мерная плотность вероятности при достаточно больших n. Однако большое число задач, связанных с описанием процессов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности.
Задание двумерной плотности вероятности p(x₁, x₂; t₁, t₂) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса – ковариационную функцию:
K_x(t₁, t₂) = M[X(t₁)X(t₂)]. (2.84)
Согласно этому определению ковариационная функция случайного процесса X(t) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции X(t) в моменты времени t₁ и t₂.
Для каждой реализации случайного процесса произведение x(t₁)x(t₂) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероятности p(x₁, x₂; t₁, t₂). При заданной функции p(x₁, x₂; t₁, t₂) операция усреднения по множеству осуществляется по формуле:
∞ ∞
K_x(t₁, t₂) =  x₁x₂ p(x₁, x₂; t₁, t₂)dx₁x₂. (2.85)
-∞ -∞
При t₁=t₂ двумерная случайная величина x₁x₂ вырождается в одномерную величину x₁²=x₂². Можно поэтому записать:

∞
K_x(t₁,t₂) = x₁² p(x₁; t₁)dx₁ = M[X²(t)]. (2.85а)

-∞
Таким образом, при нулевом интервале между моментами t₁ и t₂ ковариационная функция определяет величину среднего квадрата случайного процесса в момент t=t₁.
Как уже говорилось, частичное описание свойств случайного процесса может быть дано при помощи неслучайных функций времени M₁(t) и ²(t). Недостаточность только таких характеристик хорошо видна из сопоставления двух процессов, заданных ансамблями их реализаций и представленных на рис. 2.23.


Рис. 2.23. Нестационарные случайные процессы с одинаковыми средним M₁(t) и дисперсией ²(t)

Из рис. 2.23 а и б видно, что процессы имеют приблизительно одинаковые средние значения M₁(t) и дисперсии ²(t). Однако характеры протекания этих процессов во времени и их внутренние структуры различны. В первом преобладают медленные изменения во времени, а во втором – более быстрые. Таким образом, среднее значение и дисперсия не отражают структуры случайного процесса, быстроты его протекания. Быстрота изменения случайной функции может характеризоваться степенью статистической связи мгновенных значений, взятых в различные моменты времени.

Количественно эта связь устанавливается корреляционным моментом: