Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

-∞
Функция (x), обладающая указанными свойствами, называется единичным импульсом, импульсной функцией или дельта-функцией (а также функцией Дирака).
При сдвиге импульса по оси x на величину х₀ определения (2.65) и (2.66) должны быть записаны в более общей форме:
(2.67)
∞
(x – x₀)dx = 1. (2.68)
-∞
Функция (x) обладает важными свойствами, благодаря которым она получила широкое распространение. Из определений (2.67) и (2.68) вытекает основное соотношение:
∞ ∞
(x – x₀) f(x)dx = f(x₀) (x – x₀) dx = f(x₀). (2.69)
-∞ -∞
Так как по определению функция (x – x₀) равна нулю на всей оси x, кроме точки где она бесконечно велика, то промежуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку x₀. В этом промежутке функция f(x) принимает постоянное значение f(x₀), которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной функции f(x) на (x – x₀) позволяет приравнять интеграл произведения значению f(x) в точке x=x₀. В математике соотношение (2.69) называется фильтрующим свойством дельта-функции.
В теории передачи информации иногда говорят о стробирующем свойстве дельта-функции.
В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функцией от аргументов t или , в зависимости от того, в какой области рассматривается функция – во временной или частотной.
Спектральная плотность дельта-функции определяется с помощью преобразования Фурье, с учетом свойства (2.69), следующим образом:

. ∞ -jt -jt₀ ∞ -jt₀

S()=  (t – t₀)e dt = e (t – t₀)dt = e . (2.70)
-∞ -∞
Модуль этой функции равен единице, а ФЧХ:
() = -t₀.
Понятие единичного импульса широко применяется при исследовании линейных систем передачи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была бесконечно велика, а длительность – бесконечно мала. Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравнению с постоянной времени исследуемой цепи.
Все, что ранее было сказано относительно (t), можно распространить на () при замене t на  и  на t, т.е.:
(2.71)
Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет на значение интеграла.