Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

2. Прямоугольный импульс

Вместо прямого использования общего выражения (2.36) для нахождения спектра прямоугольного импульса мы воспользуемся принципом суперпозиции, позволяющим находить спектр суммы или разности функций времени в виде суммы или разности соответствующих этим функциям спектров. Представим прямоугольный импульс, действующий на протяжении отрезка времени от 0 до _и, в виде разности двух скачков: одного в момент t=0 и другого в момент t=_и (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Представление прямоугольного импульса

Для первого скачка в соответствии с выражением (2.58) получим спектральную плотность:

а для второго в соответствии с выражением (2.48):

Таким образом, спектральная плотность прямоугольного импульса:
(2.59)

Нетрудно определить модуль этого выражения:

(2.60)

Отметим, что для =0:

и, следовательно:
(2.61)
Таким образом, для нулевой частоты спектральная плотность прямоугольного импульса равна площади импульса. Этот вывод можно распространить на импульс произвольной формы.
Зависимость модуля S() изображена на рис. 2.17. Появление нулей в спектре прямоугольного импульса является результатом взаимной компенсации гармонических составляющих скачков s₁(t) и s₂(t), для которых сдвиг фаз равен целому числу 2π. Такие сдвиги получаются на частотах , отвечающих условию _и=n2π, где n – любое целое число. Отметим, что график модуля спектральной плотности совпадает с графиком огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов (рис. 2.17).


Рис. 2.17.

Если начало отсчета времени совместить с серединой импульса (рис. 2.18), т.е. s(t) сдвинуть на величину _и/2 в сторону опережения, то для полученной функции, четной относительно t, можно записать:

(2.60а)




Рис. 2.18. Импульс, симметричный относительно начала отсчета