Г л а в а 2 математическое описание сигналов, сообщений и помех

n – общее число значений величины X(t₁), удовлетворяющих условию:
X(t₁)X, (2.78)
N – общее число реализаций x(t).
Отношение n/N в теории вероятностей называют частотой наступления события. В данном случае под событием следует понимать выполнение условия (2.78). Приближенно при достаточно большом N можно считать:

Плотность вероятности случайной величины X(t₁) по определению в теории вероятностей выражается так:
(2.79)

и является производной по x функции (2.77). Выражения (2.77) или (2.79) статистически полностью характеризуют значения случайной функции X(t) в заданный момент времени t₁ и выражают ее одномерный закон распределения. Если момент t₁ выбирать произвольно, то в соответствии с (2.77) и (2.79) можно получить одномерный закон распределения в виде зависимости от времени P(x, t) или p(x, t).

Если закон распределения зависит от рассматриваемого момента времени t, то говорят о нестационарности случайного процесса, о неоднородности его протекания во времени. Необходимым условием стационарности процесса является независимость одномерного закона распределения от времени, т.е. выполнение одного из равенств:
P(x, t) = P(x), p(x, t) = p(x).
Одномерные законы распределения (2.77) или (2.79) удовлетворяют условию:
∞
P(∞) =  p(x)dx = 1,
-∞
отражающему достоверность того, что величина X(t₁) обязательно примет одно из значений, находящихся в пределах от -∞ до +∞.
Наряду с вероятностными характеристиками P(x) случайной величины могут рассматриваться ее числовые характеристики, или моменты случайной величины.
Среднее значение случайной величины X(t₁), или момент первого порядка
____
m_x = X(t₁) = M₁[X(t₁)]
называют математическим ожиданием случайной величины. Прямая черта над X(t₁) в данном случае означает операцию усреднения случайной величины X(t₁) по ансамблю реализаций. По определению момент первого порядка выражается следующим образом:
∞
m_x = M₁[X(t₁)] =  xp(x, t₁)dx. (2.80)