Квадрат модуля плотности спектра сигнала равна энергии сигнала

Для определения спектров случайных процессов можно было использовать следующий метод: Используя вышеприведенные формулы, можно было определить спектр случайного процесса для ансамбля путем определения амплитудных спектров для каждой реализации случайного процесса и усреднив их по всему ансамблю.
Однако этот метод нельзя использовать, потому что амплитудный спектр является комплексной функцией. Поэтому на спектр влияет случайная фаза. Поскольку эти фазы являются случайными и произвольными, амплитудный спектр случайного процесса будет равна нулю.
Чтобы избавиться от эффекта случайной фазы, американский ученый Виннер ввел понятие энергетического спектра:




Квадрат модуля плотности спектра сигнала равна энергии сигнала.
Для каждой реализации находится плотность энергетического спектра. Разделив его на интервал наблюдения T и находим плотность спектра мощности для одной реализации. Чтобы найти плотность энергетического спектра случайного процесса., необходимо найти математическое ожидание для всех его реализаций.
- Спектральная плотность мощности СП
Спектральная плотность мощности случайного процесса показывает распределение полной мощности случайного процесса на каждой частоте.
ширина энергетического спектра




Теорема Винера – Хинчина
Для стационарных С.П. корреляционная функция с энергетическим спектром связана друг с другом с помощью двух преобразований Фуре.
G( B(
Эти выражения связаны друг с другом прямым и обратным преобразованиями Фуре, которые называются формулами Винера-Хинчина. Поскольку энергетический спект односторонний, а автокорреляционная функция - четная функция, формулы Винера-Хинчина могут быть записаны в следующей форме:
B( G(
Определим произведение ширины энергетического спектра на интервал корреляции.



Для определения G (0) и B (0) используются формулы Винера-
Хинчина:
G( B(
=



Пусть задан эргодический стационарный случайный процесс, не ограниченный по времени и спектру. Известно, что одномерная плотность вероятности стационарного эргодического случайного процесса не зависит от времени:

Двумерная плотность вероятности стационарного эргодического случайного процесса зависит только от расстояния τ=t2-t1 между двумя его сечениями:

Пусть плотность вероятности мгновенных значений этого эргодического стационарного случайного процесса подчиняется гауссовскому (нормальному) закону распределения:

Стационарный эргодический случайный процесс с такой плотностью вероятности также называется гауссовским случайным процессом. Его интегральная функция распределения определяется следующим выражением:

Примерами такого рода случайных процессов являются флуктуационные помехи. Флуктуации - это случайное отклонение физического значения от своего среднего значения. К флуктуационным помехам относятся внутренние шумы и космические шумы в устройствах связи. Причиной внутренних шумов в устройствах связи вызвана неравномерным тепловым перемещением носителей заряда в резисторах и других элементах усилительных устройств (транзисторы, лампы, микросхемы, диоды)..
Математическое ожидание внутренних флуктуационных шумов в устройствах связи обычно равно нулю.
Следовательно, их одномерная плотность вероятности определяется следующим выражением:


Определение: Квазибелый шум - это случайный процесс, в котором энергетический спектр процесса в ограниченном частотном диапазоне распределен равномерно:

В квазибелом шуме спектральная плотность мощности всех частот от частоты 0 до частоты Ω распределена одинакова.

Определим корреляционную функцию квазибелого шума. Для этого воспользуемся теоремой Винера-Хинчина:

Б елый шум - это случайный процесс, в котором энергетический спектр процесса равномерно распределен на всех частотах:





Для белого шума его корреляционный интервал равен нулю. Это указывает на то, что любые два сечения белого шума статистически несвязаны.