Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

3-Misol. Uch o’lchamli R³ fazoda vektorlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Haqiqatdan, a=(a₁, a₂, a₃) b=(b₁, b₂, b₃) vektorlar yig’indisi a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) bo’lib, a+b=b+a ekani ko’rinib turibdi. Bu qo’shish amalining kommutativligini bildiradi. a, b, cR₃ vektorlar uchun qo’shish amali assosiativlik xossasiga ega, ya’ni: (a+b)+c=a+(b+c). Haqiqiqatdan, (a+b)+c=(a₁+b₁, a₂+b₂,a₃+b₃)+(c₁,c₂,c₃)=((a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂, (a₃+b₃)+c₃)= (a₁+(b₁+c₁), a₂+(b₂+c₂), a₃+(b₃+c₃))=(a₁, a₂, a₃)+(b₁+c₁, b₂ + c₂, b₃+c₃) =a+(b+c).
R³ da qo’shish amaliga nisbatan neytral element  bo’lib, u nol vektor deyiladi: =(0,0,0). a vektorga simmetrik vektor - a bo’lib, u qarama-qarshi vektor deyiladi:
-a=(-a₁, -a₂, -a₃).
4-Misol. aZ, bZ ko’rinishdagi sonlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi.
Haqiqatdan, bu to’plamda ikki a₁ b₁ va a₂ b₂ sonlarning yig’indisi qo’yidagicha aniqlanadi:
.
a₁+a₂Z, b₁+b₂Z, bo’lgani uchun, bu yig’indi Z( ) to’plamga tegishli bo’ladi.
5-misol. Natural sonlar to’plami N ko’paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil etmaydi. Chunki, bu amalga nisbatan kommutativlik va assosiativlik xususiyatlari o’rinli va natural element 1 mavjud bo’lgani bilan a>1 sonlar uchun simmetrik element mavjud emas. Chunki .
6-misol. m catrli n ustunli matritsalarning M to’plami matritsalarni qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi. m satrli va n ustunli matritsa deb qo’yidagi jadvalga aytiladi:
.
Bunda m=n bo’lishi mumkin. U holda kvadrat matritsa hosil buladi. Ikkinchi bir B matritsa ham berilgan bo’lsin.
.
A va B matritsalarning yig’indisi A+B deb quyidagi C matritsaga aytiladi:
.
Matritsalarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega.
1 A+B=B+A (Kommutativlik xossasi)
2 A+(B+C)=(A+B)+C (Assositivlik xossasi)
3 Har qanday m satrli n ustunli A va B matritsalar uchun shunday X m satrli va n ustunli matritsa mavjudki, uning uchun A+X=B tenglik o’rinli (teskari amalning mavjudligi) bu xossalarni osongina isbotlash mumkin. A matritsaga qarama-qarshi matritsa deb, -A matritsaga aytiladi:
.
Nol matritsa deb quyidagi matritsaga aytiladi:
.
Endi m satrli va n ustunli matritsalar to’plami matritsalarni qushish amaliga nisbatan gruppa tashkil etishini ko’rsatamiz.

3. 
   M to’plamda qo’shish amali asosisiativ (2 xossa).
   

2. M to’plamda neytral element mavjud u nol matritsa bo’ladi.
3. Har bir A matritsa uchun –A simmetrik matritsa mavjud, ya’ni A+(-A)=0.
Demak, M to’plam gruppa tashkil etadi.
Gruppaga ikkinchi xil ta’rif ham berish mumkin.