Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

X to’plamda a elementga simmetrik bo’lgan bitta ham element bo’lmasligi mumkin. Masalan, X=N decak, N da qo’shish amaliga nisbatan a songa simmetrik element yo’q. Chunki, simmetrik element -a bo’lishi kerak, u nutural son emas.
1-teorema. Agar ã element a ga simmetrik bo’lsa, a element ham ã ga simmetrik bo’ladi.
Isbot. Ta’rifga ko’ra, ãa=aã=e bo’lgani uchun a va ã larning rolini almashtirish mumkin. Boshqacha aytganda, ã=a (2) o’rinli.
2-teorema.  amal assossiativ bo’lib, a va b elimentlar ã va simmetrik elimentlarga ega bo’lsin. U holda, (3) tengilk o’rinli bo’ladi.
Isbot. _* ning asssiativligiga ko’ra:
(ab)  (  ã)=a (b ) ã=aeã =a ã=e
( ã)  (ab)=  (ãa) b= eb= b=e.
Bu tengliklardan ab va ã larning simmetrik ekanligi kelib chiqadi.
Endi isbotlangan ã=a va (ab) = ã tengliklarni sonlarni qo’shish amaliga tadbiq qilamiz. Bu amalga nisbatan neytral element 0 bo’ladi. Shuning uchun simmetriklik sharti a+ã=0 ko’rinishda bo’ladi. a ga simmetrik element unga qarma-qarshi element -a bo’lgani uchun, (2) tenglik -(-a)=a ni (3) tenglik esa - (a+b)=-a-b ni anglatadi.
Faraz qilaylik, endi  -ko’paytirish amali bo’lsin. Bu holda neytral element vazifasini 1 bajaradi. Shuning uchun simmetriklik sharti aã =1 ko’rinishda bo’ladi. a0 bo’lganda, a ga simmetrik element bo’ladi. Bu holda, (2) va (3) lar qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi:
va
Agar  amal assosiativ bo’lsa, faqat shu amalni saqlovchi ifodalarni soddalashtirish paytida ikkita bir-biriga simmetrik elementlar yonma-yon turgan bo’lsa, a_*ã (yoki ã_*a)ni neytral element e bilan almashtirib so’ngra, uni tashlab yuborish mumkin. Agar,  amali assosiativ bo’lishi bilan birga kommutativ ham bo’lsa, ifodada qatnashgan har qanday ikki simmetrik elementni tashlab yuborish mumkin.
Masalan, 20+ (-10)+4+(+10)=20+4=24
.
Daraja tushunchasi qo’yidagicha umumlashtiriladi: a^-n element (ã)ⁿ kabi belgilanadi. Bu holda, darajaning xossalari saqlanadi: aⁿ_*a^m=a^n+m va (aⁿ)^m=a^nm. Agar _* kommutativ ham bo’lsa, (a_*b)ⁿ=aⁿ_*bⁿ tenglik ham o’rinli bo’ladi (isbotlang).