Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

3-ta’rif. _* Algebraik amalli G to’plamda
1) bu amal - assosiativ va
2) G da bu amalga teskari amal aniqlangan bo’lsa, G to’plam gruppa deyiladi.
Gruppaning birinchi va ikkinchi xil ta’riflari ekvivalent ta’riflar ekanligini osongina ko’rsatish mumkin.
Gruppadagi algebraik amal qo’shish, (ko’paytirish) deyilganda gruppani additiv (multiplikativ) gruppa deb ataymiz.


5. Qism gruppa


4-ta’rif. G to’plamning H qism tuplami G da aniqlangan algebraik amalga nisbatan gruppa tashkil etsa, H ni G ning qism gruppasi yoki G dagi qism gruppa deyiladi.
1-teorema. G gruppaning H qism to’plami G da qism gruppa tashkil etish uchun, quyidagi ikki shartning bajarilishi zarur va ytarli.
1) H ning istalgan ikki elementi ko’paytmasi yana H ga qarashli.
2) H ning har bir h elementi uchun, shu H da unga teskari element mavjud.
Isbot. 1. H qism gruppa (demak, gruppa) bo’lsa, yuqoridagi ikki shartning bajarilishi ravshan. 2. Ikkala shart bajariladi deb faraz qilamiz. Bu holda, H qism gruppa ekanligini ko’rsatamiz.
1) Ravshanki, G da aniqlangan algebrik amal H da ham algebraik amaldan iborat bo’ladi.
2) 2 - shart bo’yicha hH uchun mavjud 1 - shartga muvofiq dir. Demak, H da h ga simmetrik element mavjud.
3) hH element uchun G da h_*e=h bo’lganidan H da ham h_*e=h bo’lishi lozim.
Demak, H to’plam gruppaning birinchi ta’rifini qanoatlantiradi. Shu sababli, u G da qism gruppadan iborat.
Misollar 1) Juft sonlar additiv gruppasi butun sonlar additiv gruppasi Z ning qism gruppasi bo’ladi. Chindan ham juft sonlar additiv gruppasini H va butun sonlar additiv gruppasini G desak, HG ekanligi ravshan. Shu bilan birga H yuqoridagi teoremaning ikki shartini qanoatlantiradi: 2 m, 2 nH uchun 2 m+2 nH va 2 mH bilan bir qatorda -2 mH dir.
2) Ratsional sonlar multiplikativ gruppasi haqiqiy sonlar multiplikativ gruppasidagi qisim gruppani ifodalaydi (isbotlang).