Misollar. I. bularning gruppa ekanligini yuqorida keltirib o`tgan edik. II

Qism gruppalar. Siklik gruppalar
Ta`rif. gruppa va bo`lsin. Agar gruppa bo`lsa, ning qism gruppasi deyiladi va kabi belgilanadi.
Misollar. I. bularning gruppa ekanligini yuqorida keltirib o`tgan edik.
II. bularning har biri gruppa bo`lishini yuqorida ko`rsatgan edik.
III. Juft butun sonlar to`plami qo`shish amaliga nisbatan butun sonlar to`plamiga qism gruppa bo`ladi. Ya`ni bo`ladi. Xuddi shunday uchun o`rinli bo`ldi.
IV. ixtiyoriy gruppa bo`lsin, va o`rinli bo`ladi. Bu qism gruppalar gruppaning trivial qism gruppalari deyiladi.
Teorema 1. gruppa va bo`lsin. qism gruppa bo`lishi uchun elementlar uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. H gruppa ekanligidan teoremadagi shartlar gruppa ta’rifidan kelib chiqadi.
_{Yetarliligi. Aytaylik} H G ning bo’sh bo’lmagan qism to’plami va uchun _{bo’lsin. Xususan a=b bo’lganda
a*a-1=e H bo’ladi, ya’ni birlik element H da yotadi. b H uchun e*b-1=b-1 H, ya’ni H ning barcha elementlari teskarisi ham H da yotadi. Demak, H gruppa, ya’ni H G ning qism gruppasi.}
Natija. gruppa va chekli qism to`plam bo`lsin: bo`lishi uchun uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Ta`rif 2. gruppa bo`lsin.
to`plam gruppaning markazi deyiladi.
chunki . Agar - kommutativ (Abel) gruppa bo`lsa, bo`ladi.
Teorema 2. bo`ladi. Ya`ni ning qism gruppasi bo`ladi.
_{Isbot. Aytaylik a,b Z(G) bo’lsin. Bundan c G uchun bc=cb. Bundan cb-1=b-1c kelib chiqadi. Ya’ni b-1 Z(G). (ab-1)c=a(b-1c)=a(cb-1)=(ac)b-1=(ca)b-1=c(ab-1). Bundan ab-1 Z(G). Teorema 1 ga ko’ra Z(G) G ning qism gruppasi.
Teorema 3. G gruppa va {Hα| α I} lar G ning qism gruppalari bo’lsin. U holda ularning kesishmasi ham G ning qism gruppasi bo’ladi.
Isbot.Hα qism gruppa ekanligidan barcha α uchun e Hα. Bundan e Ոα Hα , ya’ni Ոα Hα bo’sh emas. Aytaylik, a,b Ոα Hα. U holda a,b Hα. Bundan ab-1 Hα. Bundan esa ab-1 Ոα Hα . Teorema 1 ga ko’ra Ոα Hα G ning qism gruppasi.
Ta’rif. G gruppa va a G bo’lsin. ={an|n Z} to’plam G ning a orqali hosil qilingan qism to’plami deyiladi.
Misol. (Z,+) gruppada <2>=2Z 2 orqali hosil qilingan qism gruppa.
Ta’rif.G gruppa va a G bo’lsin.} =G bo’lsa G siklik gruppa deyiladi, a esa bu gruppaning yasovchisi deyiladi.
_{Misol.1) G={1,-1,i,-i} gruppada G= yoki G=<-i> siklik gruppa.}

2. 
   _{Z=<1> cheksiz siklik gruppa.}
   

_{Teorema 4. Aytaylik,} tartibi n ga teng chekli siklik gruppa bo’lsin. U holda ={e,a,a2,…,an-1} bo’ladi.
_Isbot. ={ai|i Z}. chekli bo’lgani uchun shunday i,j Z (j>i) topiladiki ai=aj. Bundan aj-I=e va j-i musbat. Aytaylik m soni am=e tenglikni qanoatlantiruvchi eng kichik musbat butun son bo’lsin. Bundan S={e,a,a2,…,am-1} to’plam elementlari turlicha bo’ladi. Ravshanki, S . Aytaylik, ak bo’lsin. Qoldiqli bo’lishga ko’ra shunday butun q,r lar topiladiki, k=qm+r, 0_{≤rS. Bundan S. Demak S=}. Bundan m=n.
_{Natija 1. Aytaylik} chekli siklik gruppa. U holda _(a)=||.
_{Natija 2. G chekli siklik gruppa shunday a G topiladiki (a)=|G|.
Teorema 5. Siklik gruppaning barcha qism gruppalari ham siklik bo’ladi.
Isbot. Aytaylik H G=} siklik gruppaning qism gruppasi bo’lsin. Agar H={e} bo’lsa, u holda H= siklik. Faraz qilaylik {e} H. Bundan shunday b _{H topiladiki b e. b G bo’lgani uchun b=am tenglik qandaydir butun m da bajariladi. Bundan m 0, chunki b e. H ham gruppa bo’lgani uchun a-m=b-1 H. m yoki -m dan biri musbat. Natijada, H a ning musbat darajasini o’z ichiga oladi. Aytaylik n an H shartni qanoalantiruvchi eng kichik musbat son bo’lsin. Biz H= ekanligini ko’rsatishimiz kerak.
an H ekanligidan H. Aytaylik h H. Bundan qandaydir butun k da h=ak. Qoldiqli bo’lishga ko’ra shunday butun q,r lar topiladiki k=nq+r, 0≤rH. Agar r>0 bo’lsa, bu n ning eng kichikligiga zid. Demak r=0. Bundan ak=(an)q . Bundan H . Demak H= siklik.}