Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

4. Gruppalar


1-ta’rif. Qo’yidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi _* algebraik amalli G to’plam gruppa deb ataladi.
1. G dagi  algebraik amal assosiativ.
2. G da  amalga nisbatan neytral e element mavjud.
3. Har bir aG element uchun simmetrik ãG element mavjud.
1-Misol. Butun sonlar to’plami Z sonlarni qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi. Bu to’plamda sonlarni qo’shish algebraik amaldan iborat, chunki butun sonlar yig’indisi yana butun sondan iborat. Qo’shish amali asossiativ, chunki a,b,c butun sonlar uchun, a+(b+c)=(a+b)+c tenglik o’rinli. Z to’plamda a+0=a, (aZ,0Z). Z to’plamda a elementlar uchun simmetrik -a element mavjud, chunki a+(-a)=0
Gruppa ta’rifida  algebraik amalning kommutativligi talab qilinmaydi.
2-ta’rif. Agar G gruppadagi  algebraik amal kommutativ bo’lsa, uni kommutativ gruppa deb ataladi.
Yuqoridagi misolda qo’shish amali kommutativ, chunki a+b=b+a (a,bZ). Demak, Z to’plam qo’shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa ham ekan.
Komutativ gruppalarada  amal + belgisi orqali yoziladi va uni qo’shish amali deyiladi, neytral element 0 bilan belgilanadi va uni nol deb ataladi, a ga simmetrik element esa - a orqali belgilanadi va uni qarama-qarshi element deb ataladi. Yana bundan tashqari, kommutativ gruppalarada  amal ∙ belgisi orqali yoziladi va uni ko’paytirish amali deyiladi. Bunda neytral element 1 bilan belgilanadi va uni bir deb ataladi, a ga simmetrik element orqali belgilanib, uni a ga teskari element deb ataladi.
2-misol. Musbat haqiqiy sonlar to’plami R₊ ko’paytirish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. Chunki, a, b cR+ uchun, a^.b=b^.a, a(bc)=(ab)c tengliklar bajariladi. Bunda, ikki musbat haqiqiy sonlarning ko’paytmasi musbat haqiqiy son bo’ladi, neytral elementi rolini 1, simmetrik element rolini bajaradi.