Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

Endi maydon tushunchasi bilan tanishamiz.
4-ta’rif. Hech bo’lmaganda, bitta noldan farqli elementga ega bo’lib, a0 va b lar uchun ax=b tenglama yechimga ega bo’lgan kommutativ K halqa maydon deb ataladi.
Ta’rifdan ko’rinadiki, maydonda bo’lish amali ham bajariladi (nolga bo’lish mumkin emas). Maydon nol va qarama-qarshi elementlardan tashqari, bir va teskari elementlarga ham ega bo’ladi. P maydonda birlik element deb, ae=ea=a tenglikni qanoatlantiruvchi e elementga aytiladi.
ax=e tenglamaning yagona yechimini a^-1 yoki deb belgilandi va uni a ga teskari element deb ataladi, bunda e birlik element.
Umumiy holda, ax=b tenglamaning yechimini topish uchun uning har ikkala tomonini a^-1 ga ko’paytiramiz: x=ba^-1= simvol izlangan yechim bo’ladi. Bu simvol ustida bajariladigan amallar kasrlar ustida bajariladigan amallardan farq qilmaydi ya’ni:
1. o’rinli faqat va faqat ac=bd (a0, 0) o’rinli bo’lsa.
2. (qo’shish qoidasi) (a0, c0).
3. (ko’paytirish qoidasi) (a0, c0)
4. (bo’lish qoidasi) (a0, c0, d0)
Maydonda butun musbat darajadan tashqari, manfiy daraja tushunchasi ham kiritladi, ya’ni agar a0 bo’lsa, (a^-1)^k=a^-k deb olinadi. Oson ishonch hosil qilish mumkinki, noldan farqli sonlar uchun quyidagi munosabatlar o’rinli bo’ladi:
a^m aⁿ=aⁿ a^m=a^m+n, (a^m)ⁿ=a^nm,
(ab)ⁿ=aⁿ bⁿ.
P maydon quyidagi xossaga ega:
Agar, P maydonning a va b elementlari ko’paytmasi ab nolga teng bo’lsa, ko’paytuvchilarning hech bo’lmaganda biri nolga teng bo’ladi.
Bu juda oson isbotlanadi: faraz qilaylik, a0 bo’lsin. ab=0 tenglikning har ikkala tomonini ga ko’paytirib b=0 ga ega bo’lamiz.
Elementlari sonlardan iborat bo’lgan maydon sonli maydon deyiladi.
X to’plamning maydon tashkil etishini tekshirish uchun, avvalo, uning halqa tashkil etishiga ishonch hosil qilish va so’ngra har bir noldan farqli element uchun teskari element mavjudligini ko’rsatish kerak.