1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы. Частотой

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
P(AB) = P(A)P(B|A)= P(В)P(А|В).
Метод математической индукции позволяет обобщить эту формулу на случай n событий.
P(A₁A₂ ……A_n)= P(A₁)P(A₂|A₁)*…* P(A_n|A₁A₂…A_n-1)
Формула сложения вер-тей:
Вер-ть появления в опыте хотя бы одного из соб. А₁, А₂…A_n выражается формулой
Замечание: если соб. А₁, А₂…A_n попарно несовмест., то вер-ть произведения любой комбинации из этих событий равна 0.

Если соб. А₁, А₂…A_n совместные и независ., то



6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Ф ормула полной вероятности
Пусть дана группа несовместных событий В₁,В₂…В_n и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ₁, АВ₂… АВ_n. И пусть даны вероятности P(В₁), P(В₂),…,P(В_n) и условные вероятности P(A|В₁), P(A|В₂),…,P(A|B_n). Требуется определить вероятность P(A).
Так как A = АВ₁ +АВ₂ +…+ АВ_n, то P(A)= P(АВ₁ + АВ₂ +… +АВ_n ).
События В₁, В₂,…,В_n несовместные, следовательно, события АВ₁,АВ₂,…,АВ_n тоже несовместные. Воспользуемся теоремой сложения для несовместных событий.
P(A) = P(АВ₁ + АВ₂ +… +АВ_n) = P(АВ₁)+ P(АВ₂)+… +P(АВ_n )
По теореме умножения для каждого слагаемого имеем
P(AB_i)=P(B_i)P(A|B_i).
Следовательно
P(A) = P(B₁)P(A|B₁) +P(B₂)P(A|B₂)+…+P(B_n)P(A|B_n).
Или
- формула полной вероятности
Ф ормула Байеса
Пусть дана группа несовместных событий В₁, В₂ ,…В_n и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ₁, АВ₂,… АВ_n. И пусть даны вероятности P(В₁), P(В₂),…,P(В_n) и условные вероятности P(A|B₁), P(A|В₂),…,P(A|В_n). Требуется определить условные вероятности P(В₁|A), P(В₂|A),…,P(В_n|A).
По теореме умножения
P(AB) = P(B)P(A|B) или P(AB) = P(A)P(B|A).
Следовательно, P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).
Воспользуемся последним равенством и выразим P(B|A) в общем случае

P(A) находим по формуле полной вероятности

Итак, - формула Байеса
Вер-ть Р(В_i) осуществления соб. В_i (i = 1,…,n), вычисл. безотносительно к соб. А, нзв априорной вер-тью (a priori). Усл. вер-ть Р(В_i|А) выполнения соб. В_i (i = 1,…,n), вычисл. в предположении, что соб. А осуществилось, нзв апостериорной вер-тью (a posteriori).
События В_i называют гипотезами, а теорему Байеса теоремой гипотез.

Формулы полной вероятности и Байеса связаны между собой и дают прямое и обратное решения одной и той же проблемы. Первая прогнозирует возможность появления события А по известным до опыта вероятностям осуществления гипотез. Последняя оценивает вероятность осуществления каждой гипотезы, если событие А произошло.

7.Случайные величины. Основные свойства функции распределения. Дискретные непрерывные случайные величины.
Случайной нзв величину, к-рая в рез-те испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случ.причин, к-рые заранее не могут быть учтены.
Опр: Случайной величиной ξ() нзв. ф-ция элементарных событий от  с обл. определений Ω и обл. значений действ. чисел R¹ и означает, что событие {: ξ()x} σ-алгебре F при х R¹. Значение х нзв реализацией случ-ой вел-ны ξ(). Сов-ть всех реализаций сл. вел-ны, т.е. обл. значений ξ(), нзв. спектром знач. сл. величины.
Ф-ция распределения случ-ой величины.
σ-алгебра мн-ва F предст.соб. класс событий, для к-рых определена вер-ть
,

Опр: Пусть у нас есть ξ – случ.вел-на и х – произвольное действительное число. Вер-ть того, что ξ меньше, чем х, нзв ф-цией распред. вер-тей сл. вел-ны ξ.

Для описания случайной величины ξ необходимо указать множество её возможных значений х и задать распределение вер-тей этих значений.
Опр: Пусть ξ() сл. вел-на и х произвольное действительное число вер-ти. Тогда вер-ть того, что ξ() примет значение, меньшее, чем х, нзв ф-цией распред. вер-тей сл. вел-ны ξ().

Замечание: ф-ция распределения явл. разновидностью закона распределения для сл. величин всех типов и однозначно опред. случ. величину.
Св-ва ф-ции распред.
1) Ф-ция распред. F_ξ(x) опред. для всех х на действ. прямой.

2) Ф-ция распред. неотриц. и не больше 1.

Ф-ция определенная на всей числовой прямой R нзв ф-цией распределения случ-ой величины.
Н апример: х принимает значение -1 с вер-тью ½ и значение 1 с вер-тью ½. Тогда

3)
Док-во: ξ<+∞ достоверно, отсюда Р(ξ<+∞)=1. A_k – событие, состоящее в том, что k-1ξn={ξ –n} n=1, 2,… B_n+1={x – (n+1)}  B_n(ξ –n) n1.
для любого элементарного исхода знач. ξ вещественно и не может быть меньше всех веществ.чисел, т.е. пересечение B_n не содерж. элем.исходов.


Аналогично док-ся для х→-∞.
4) Ф-ция распределения не убывает.
Если x₁2, то F(x₁)-F(x₂)=P{x₁x2}, при этом F(x₁)F(x₂).
Д-во:  x₁2, {ξ2}={ξx₁}+{x₁<ξx₂}.
{ξx₁}{x₁<ξx₂}=.
По А3: F(x₂)=P{ξ2}=F(x₁)+P{x₁<ξx₂} => F(x₂)-F(x₁)= P{x₁<ξx₂} > 0.
5) ф-ция распред.непрерывна слева

Док-во:
По А4:
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Опр: числовая ф-ция ξ= ξ() опред на пространстве Ω и принимающая конечное или счетное множество значений х₁, х₂, …, х_n, нзв дискретной случайной величиной, если для любого x_i мн-ва , для к-рых ξ()=x_i, принадлежит σ-алгебре мн-ва F, т.е.

Ф-ция распред. любой дискретной сл.вел-ны разрывна, возрастает скачками при тех значениях х, к-рые явл.возмож.значениями. Распределение дискрет.сл.вел-ны есть ступенчатая ф-ция. Единичной ступенчатой ф-цией (ф-цией Хевисайда) нзв ф-ция вида
Опр: числовая ф-ция ξ=ξ(), опред. на пространстве Ω и прин-щая несчетное кол-во значений (-∞; +∞), нзв непрерывной сл. вел-ной, если любое x_i мн-ва , при к-рых ξ()
Если сл.вел-на ξ имеет абсолютно непрерыв.ф-цию распред. F_ξ(x), для к-рой существ.неотриц.ф-ция f(x), удовл. при любых х рав-во

то в этом случае сл.вел-на нзв непрерывной, а ф-ция f(x) нзв плотностью распред.ее вер-тей.
Ф-ция распр.непрерыв.сл.вел-ны сама явл.непрерыв.


8.Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Начальные и центральные моменты случайной величины. Условное математическое ожидание. Дисперсия случайной величины и её свойства. Связь различных случайных величин. Коэффициент корреляции и его свойства
Матожидание:
Опр: мат.ожиданием (или средним значением случайной величины ξ) нзв величина M[ξ], к-рая опред след образом:

Пример дискретной величины:

Кубик: N=6 {1,2,3,4,5,6}
M[ξ]=1/6(1+3+3+4+5+6)=3,5 => Вероятнее всего, выпадет 3 или 4.
Пример непрерывной величины:
ξ - точка координат, брошенная на удачу на отрезок [a;b]

Св-ва мат.ожидания:
1) мат. ожид. постоянной равно ей самой
M[c]=c, c=const. M[1]=1
2) постоянную величину можно вынести за знак мат. ожидания
M[c+ξ]=M[ξ]+c
M[c*ξ]=cM[ξ]
3) мат.ожидание суммы любых случ-ых величин равно сумме их математических ожиданий, если эти мат.ожидания существуют.
ξ, η M[ξ+η]=M[ξ]+M[η]
4) мат. ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их мат.ожиданий
ξ, η – независ. M[ξη]=M[ξ]M[η]
5) если ξη при всех элемент.исходах, то их мат.ожидания сохраняют соотношение: M[ξ]M[η].
Начальные и центральные моменты случайной величины:
Опр: начальным моментом k-ого порядка случайной величины ξ нзв. мат.ожидание k-ой степени этой случайной величины

Опр: центральным моментом k-ого порядка случайной величины ξ нзв мат.ожидание k-ой степени центрированной случайной величины

Центрированной сл.вел-ной нзв разность м/у сл.вел-ной ξ и ее мат. ожиданием.

Условное математическое ожидание:
Е сли условная ф-ция распределения случ. величины ξ: F_ξ(x|A), то в этом случае можно рассчитать усл.мат. ожид. по формуле:

где A_i – полная группа несовмест.событий, - ф-ции распред. ξ. M[ξ|A] нзв услов.мат.ожид.сл.вел-ны относительно события А.
Дисперсия случайной величины:
Опр: дисперсией случ.величины ξ нзв. мат.ожидание квадрата отклонения случ.величины ξ от её мат.ожидания.

Дисперсия характеризует степень рассеивания реализации случайной величины около её мат.ожидания.
Св-ва дисперсии
1) дисперсия постоянной величины равно нулю
D[c]=0, с=const
2)
3) Дисперсия суммы любых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин (если эти дисперсии существуют)

4) если дисперсия случ. величны ξ равна нулю, то ξ равна постоянной с вероятностью, равной единице:
если D[ξ]=0, то ξ =Const с вероятностью р=1
5) дисперсию можно посчитать по формуле:
Связь различных сл.вел-н.
Две сл. вел-ны могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми. Строгая функ-ная зав-ть реализуется редко, т.к. обе величины или одна из них подвержены еще действию случ.факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин. В этом случае возникает статистическая зависимость. Стат-кой нзв зав-ть, при к-рой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, стат.зав-ть проявл.в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой. В этом случае стат.зав-ть нзв корреляционной.
Коэффициент корреляции r
Коэффициентом корреляции r_ξη сл.вел-н ξ и η нзв отношение корреляционного момента к произведению сред.квадр.отклонений этих вел-н:

или
где
Свойства коэффициента корреляции:
1) для независимых случайных величины ξ и η коэ-нт корреляции равен нулю.
Сл.вел-ны ξ и η нзв некоррелированными, если их коэф-т кор-ции равен 0.
2) коэ-нт корреляции лежит в пределе от -1 до 1
3) если r=1 или r=-1, то величины ξ и η линейно зависимы (прямая или обратная зав-ть соответственно)




9. Характеристическая функция и ее свойства.
Опред. Характеристической функцией случайной величины ξ называется мат ожидание случ. величины e^itξ
g(t)= M[e^itξ]
характеристическая функция при любых фиксированных t совпадает с мат ожиданием сл величины вида e^itξ.
-∞ ≤ t ≤+∞
Замеч.: Хар. ф-ция предст. соб. преобразование Фурье плотности f(x) cлуч. величины ξ.


Св-ва хар. функции:
1.│g(t)│≤ 1 при -∞ ≤ t ≤ +∞
док-во: i²= -1
e^itξ =cos (tx)+ i∙sin (tx)
ξ+iη
M[ξ] + i M[η]
│e^itx│² = cos² (tx) + sin² (tx)= 1

2. g(0)=1
e^itx=1

3.η=aξ+b , ξ-cл. величина, a,b- const, то g_η(t)=e^ibtg_ξ(at)
док-во: g_η(t)=M[e^i(aξ+b)]= e^itb M[e^itaξ]= e^ibtg_ξ(at)
4.Хар.ф-ция суммы двух независимых случайных величин произведению их характеристических функций.
Док-во: φ=ξ+η
g_η(t)=M[e^itφ]= M[e^it[ξ+η]]= M[e^itξ∙ e^itη ]= M[e^itξ]∙ M [e^itη ]=g_ξ(t) ∙ g_η(t)
5. если случайная величина ξ имеет абсолютный момент n- ого порядка, то хар. ф-ция величины ξ, дифференцируемая k раз, при n≤k, выглядит следующим образом:
g^(k)(0)=i^kM[ξ^k]


10. Мода и медиана. Квантиль
Модой дискретной случайной величины нзв наиболее вероятное ее значение.
М одой непрерывной случайной величины нзв такое значение, при котором плотность ее распределения достигает max. В случае симметрии мат. ожидание совпадает с модой и центром симметрии распределения, при условии что мат ожидание существует, а распределение является модальным. В общем случае мода и мат. ожидание не совпадают.
Медиана (Ме) рассматривается только для непрерывных случайных величин.
Ме случайной величины ξ нзв такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения сл. величины ξ.
P(ξКвантилями уровня p ф-ции распределения F_ξ (x) нзв min значение x_p, при котором F(x) ≥p.
x_p= min{ x: F(x) ≥p } p(0;1)
К вантилью порядка p нзв значение случайной величины x_p, левее которого на оси x лежит p-ая часть распределения.
F(x)= P (xp)=p
Квантиль порядка 0,5 является медианой.


11. Основные дискретные распределения. Вырожденное распределение. Испытания Бернулли. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Теорема Пуассона.
Основные дискретные распределения
Говорят, что случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел {a₁, a₂, …, a_n} такой, что: