1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы. Частотой

Аксиоматическое определение вероятности: Вероятностью соб.А нзв ф-ция Р(А), определенная на -алгебре F, удовлетв. след. аксиомам вер-ти:
1. Р(А) ≥ 0 ; неотрицательность
Каждому соб.А F ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вер-тью.
2. Р(Ω) = 1, Ω - достоверное событие ;
Вер-ть достовер.события равна 1.
3. Для любых попарно несовмест.событий А₁, А₂…A_n справедливо след.рав-во:
Р(A₁+A₂+…A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)
4. Если послед-ть А₁, А₂…A_n такова, что каждое последующее ведет за собой предыдущее, и произведение событий есть невозможное событие, имеет место рав-во:



Осн.св-ва вероятности:
Если вер-ть соб.А Р(А)=1, но соб. АΩ, то говорят, что соб А в опыте G происходит почти наверное.
Если вер-ть соб.А Р(А)=0, но соб. АØ, то говорят, что соб А в опыте G почти никогда не происходит.
Ω=Ø+Ω По аксиоме 3: Р(Ω)=Р(Ø)+Р(Ω)
1) Вер-ть невозможного соб.равна 0
Р(Ø) = 0
2) Если вер-ть соб. Р(А)=1, то отсюда не следует, что соб.А явл.достоверным
3) Если вер-ть соб. Р(А)=0, то отсюда не следует, что соб.А явл.невозможным
4) Если соб.А влечет за собой соб.В, то
АВ => P(A)P(B)
Д ок-во: Если вер-ть монотонна, то Р(А)=Р(В). В=А+В\А; А(В\А)=Ø т.к. А и В\А несовместны. По аксиоме 1 и 3 Р(В)=Р(А)+Р(В\А)Р(А)
5) Каково бы ни было случ.соб. А, его вер-ть неотрицательна и не больше 1.
0Р(А)1
Док-во: АΩ. По св-ву 4: Р(А)Р(Ω)=1. По св-ву 1: 0Р(А)
6) Вер-ть суммы 2-х произвольных событий А и В  F выражается формулой:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Док-во: А+В=А+(В-АВ)
В=АВ+(В-АВ)
По аксиоме 3: Р(А+В)=Р(А)-Р(В-АВ)
Р(В)=Р(АВ)+Р(В-АВ)
=> Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
7) Р(А+В)Р(А)+Р(В) (по св-ву 6, Р(АВ)0)
8)
Если соб. А₁, А₂…A_n несовмест., тогда нерав-во переходит в рав-во

Вер-ть суммы нескольких несовмест.соб.равна сумме их вер-тей.
9) Если А и В F и АВ=Ø, то Р(С(А+В))=Р(СА)+Р(СВ)
Док-во: (СА)(СВ)=Ø, т.к. АВ=Ø
С(А+В)=СА+СВ => (по аксиоме 3) Р(С(А+В))=Р(СА+СВ)=Р(СА)+Р(СВ)


Св-ва вероятности для полной группы событий
Соб. Н₁, Н₂…Н_n в некоем опыте G образ.полную группу несовмест.событий, если они попарно несовместны и в рез-те опыта произойдет хотя бы одно из событий Н_i.
Н₁+Н₂+…+Н_n =Ω
При этом соб. Н₁, Н₂…Н_n , к-рые имеют положит.вер-ть, нзв гипотезами.
10) Если соб. Н₁, Н₂…Н_n образ.полную группу, то
Р(Н₁)+Р(Н₂)+…+Р(Н_n) =Р(Н₁+Н₂+…+Н_n)=1
11) Для любого соб.А вер-ть противоположного соб.Ā определяется по формуле: Р(Ā)=1-Р(А)
Док-во: Ā= Ω/А, А*Ā= Ø – несовмест., А+Ā= Ω
Р(А+Ā)=1; по аскиоме 3: Р(А+Ā)=Р(А)+Р(Ā)=1
=> Р(Ā)=1- Р(А)


5. Условная вероятность и её свойства. Независимость событий. Основные формулы вычисления вероятностей: формула умножения вероятностей, формула сложения вероятностей.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А|В) или P_B(A).
Условная вероятность события А при условии наступления события В равна Р(А|В)= Р(АB) /P(B), где P(B)>0 (формула условной вероятности).
Св-ва усл.вер-ти:
1) 0 Р(А|В)1
2) если АВ=Ø, то Р(А|В)=0
3) если соб.В ведет к обяз.осущ-ю соб.А, то усл.вер-ть равна 1 ВА  Р(А|В)=1
4) Р(А|Ω)=1
5) если соб.А есть объединение непересекающихся событий А₁, А₂…A_n , то вер-ть Р(А|В) равна

Условие независимости события А от события В можно записать в виде:

Р(А|В)= Р(А)
Соб.А и В нзв независ., если вер-ть их произведения равна произведению их вер-тей.
Соб. А₁, А₂…A_n нзв независ. в совокупности, если каждое из них не зависит от произведения любой совокупности остальных.
Если любые два события из А₁, А₂…A_n независ., то соб. А₁, А₂…A_n нзв попарно независ.
Замеч.: независ-ть событий не следует из их попарной независимости, но обратное утверждение верно.
Замеч.: если несовмест.соб. А и В имеют ненулевые вероятности, то они зависимы.
Док-во: Пусть АВ=Ø, А и В несовмест., тогда Р(А)*Р(В)=Р(АВ)=Р(Ø)=0, но при этом Р(А)0 и Р(В)0 => противоречие => А и В зависимы.