1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы. Частотой

(8.) Величина ξ независима от величины η ,если её закон распределения не зависит от того, какое значение принимает величина η.
Теорема. Для того, чтобы случ.вел-ны ξ и  были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ф-ция распред.системы (ξ, η) была равна произведению ф-ций распределения составляющих

Следствие. Для того, чтобы непрерывные случайные величины ξ и  были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совмест.распред.системы (ξ, η) была равна произведению плотностей распред.составляющих:



(9.) Критерии независимости:
1) для всех х,у
2) Непрерывность

3) Дискретность
для всех х, у
Если хотя бы один из критериев не выполняется в любой одной точке, то величины ξ и η зависимы.


15. Условные распределения двумерной случайной величины. Функция распределения и её свойства. Условная плотность распределения и её свойства. Условные числовые характеристики. Корреляционные зависимости. Нормальный закон распределения двумерной случайной величины.
Случайные величины: ξ x_i i=1÷n; η y_j j=1÷m.
Условной функцией распределения случайной величины ξ, при условии, что случайная величина η приняла значение y_i называется условная вероятность.

Свойства условной ф-ции распределения:
1) Fξ(x|y) – определена для всех х
2) Fξ(x|y)  [0,1] для всех х  R
3) Fξ(-∞|y)=0
4) Fξ(+∞|y)=1
5) Сумма вероятностей распределения равна 1.
Имеем y_i:
Имеем x_i:
Используют для контрольного вычисления.


Условная плотность распределения и её свойства
Условной плотностью распределения f_ξ(x/y) непрерывной случайной величины ξ при фиксированном значении η=у называется отношение плтности совместного распределения f_ξη(x/y) случайной величины (ξ,η) к плотности распределения случайной величины ξ.

Свойства:
1) f_ξ(x/y)≥0
2)
f_ξ(x/y) – непрерывная функция
3)
4) ξ и η – независимы

5)


Условные числовые характеристики
Условным мат ожиданием случайной величины ξ называют её мат ожидание, вычисленное при условии, что случайная величина η приняла значение у.

Условное мат ожидание M[ξ|y] случайной величины ξ как функция параметра у называется регрессией ξ на у

Смешанный начальный момента порядка K+S равен мат ожиданию

Смешанные центральный момент K+S равен мат ожиданию произведения центрированных величин

Следствия:



Корреляционные зависимости
Корреляционным моментом (k_ξη) случайных величин ξ и η называют мат ожидание произведения отклонения этих величин от их мат ожидания:
Характеризует степень тесноты линейных величин ξ и η и их рассеивание их значений относительно точки
Свойства:
1) k_ξη = k_ηξ
2) Корреляционный момент двух независимых случайных величин ξ и η равен 0.
3)Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин ξ и η не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Если k_ξη<0, то между ξ и η существует отрицательная корреляционная зависимость(если одно значение растет, то другое значение уменьшается).

Если k_ξη >0, то между ξ и η существует положительная корреляционная зависимость(если одно значение растет, то и другое значение растет).

Коэффициент корреляции (r_ξη) случайных величин ξ и η называется отношение корреляционного момента к произведению среднего квадратических отклонений этих величин:

-1≤ r_ξη ≤1
Две случайные величины ξ и η называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля.
Соответственно, ξ и η называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

r_ξη=1; ξ и η; η=аξ+b

Нормальный закон распределения двумерной случайной величины
Непрерывная двумерная случайная величина (ξ,η) имеет нормальное распределение, если её плотность вероятности равна:

Параметрами нормального закона распределения являются:

Если случайные величины распределены нормально, но они некоррелированны, то r_ξη=0, и получим:

Таким образом, если составляющие нормального распределенной случайной величины некоррелированны, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих.


16. Многомерные случайные величины.Основные характеристики (Ф-я распределения, плотность распр-я, понятие независимости). Основные числовые характеристики (мат.ожидание, дисперсия, корреляционная матрица, коэф-т корреляции, нормированная корреляционная матрица).
Опр. Совокупность произвольного числа n одномерных случ. вел-н , кот. принимают значения одного и того же опыта наз. n-мерной случ. величиной: .