1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы. Частотой

(3.) Двумерная случайная величина называется дискретной, если составляющие ее случайные величины являются дискретными. Двумерную сл.вел-ну (ξ, η) геометрически можно изобразить либо как случайную точку М(ξ, ) на плоскости (т.е. как точку со случ.координатами), либо как случ.вектор ОМ.


(4.) Ф-цией распред. F_ξη(x, y) двумерной сл.вел-ны (ξ, η) нзв вер-ть совместного выполнения события (ξпримет значение, меньшее х, и при этом η примет значение, меньшее у: F_ξη(x, y)=Р(ξГ еометрически это можно истолковать так: F_ξη(x, y) есть вер-ть того, что случ.точка (ξ, η) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенные левее и ниже этой вершины.


Св-ва ф-ции распределения двумерной сл.вел-ны:
1. 0 F_ξη(x, y)1 Вытекает из опред-я ф-ции рапред.как вер-ти: вер-ть – всегда неотриц.число, не превышающее 1.
2. F_ξη(x, +∞)= F_ξ(x), т.к. F_ξη(x, +∞)=Р(ξξ(x)
F_ξη(+∞, y)= F_η(y) аналогично
3. F_ξη(x, -∞)= F_ξη(-∞, у)= F_ξη(-∞, -∞)=0. Вытекает из невозможности событий.
F_ξη(+∞, +∞)=1. Вытекает из достоверности событий.
4. F_ξη(x, y) есть монотонно неубывающая ф-ция по каждому аргументу.
Д-во: Событие, состоящее в том, что составляющая ξ примет значение, меньшее х₂, и при этом составляющая η1, и при этом η1, η<у); 2) ξ примет значение, удовлетворяющее нер-ву х₁ξ<х₂, и при этом η1ξ<х₂, η2, η<у)= Р(ξ1, η<у)+ Р(х₁ξ<х₂, η2, η<у) – Р(ξ1, η<у) = Р(х₁ξ<х₂, ηξη(x₂, y) - F_ξη(x₁, y)= Р(х₁ξ<х₂, ηξη(x₂, y) - F_ξη(x₁, y)0, или F_ξη(x₂, y)F_ξη(x₁, y) ч.т.д. Аналогично доказывается, что F_ξη(x, y) неубывающая по аргументу у.
5 . Если двумерн.ф-ция распред. F_ξη(x, y) непрерывна по х и по у, то вер-ть попадания случ.вел-ны (ξ, η) в прямоугольную область D={х₁  x  х₂, y₁  y y₂} равна Р(х₁ξх₂, у₁ η у₂) = F(x₁, y₁)+F(x₂, y₂) – F(x₁, y₂) – F(x₂, y₁).


(5.) Законом распред.дискретной двумерной сл.вел-ны нзв перечень возможных значений этой вел-ны, т.е пар чисел (x_i, y_j) и их вероятностей р(x_i, y_j) (i=1, 2,…,n; j=1, 2,…, m). Обычно закон распределения задают в виде матрицы. Матрица распред.предст.соб.таблицу, к-рая содержит значения {x₁, x₂,…, x_n}, {y₁, y₂,…, y_n} и вероятности возможных пар значений P_ij=P(ξ=x_i; η=y_j) (i=1, 2,…,n; j=1, 2,…, m).

	y1	y2	…	ym
x1	P11	P12	…	P1m
x2	P21	P22	…	P2m
…	…	…	…	…
xn	Pn1	Pn2	…	Pnm

Св-ва:
1)
2) ,
3) ,
(6.) Двумер.сл.вел-на (ξ, η) является непрерывной, если ее ф-ция распред.предст.соб. непрерывную дифференцированную ф-цию по каждому из аргументов и существует 2-ая смешанная производная. Пространством ее элементарных событий является плоскость, либо область плоскости, либо область конечной ненулевой плоскости.

(7.) Двумерной плотностью ф-ции распред. f_ξη(x, y) случ.вел-ны (ξ, η) нзв предел отношения вер-ти попадания случ.точки в элементарный участок плотности, примыкающий к точке (х, у), к площади этого участка, когда его размер стремится к 0.
Т.о. плотностью совместного распределения вер-тей двумерной непрерывной сл.вел-ны нзв вторую смешанную частную производную от ф-ции распред. Геометрически эту ф-цию можно истолковать как поверхность, к-рую нзв поверхностью распределения.
D={х₁ ξ х₂, у₁ η у₂}


Свойства двумерной плотности распределения:
1)
2) Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен 1.

3)
4)