1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы. Частотой

а) для всех i;
б) .
То есть случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.
Виды дискр.распр-ний: вырожденное распр., распр. Бернулли, биноминальное распр., геометрическое распр., распр. Пуассона, гипергеометрическое распр. и др.


Вырожденное распределение.
Говорят, что случайная величина ξ имеет вырожденное распределение с параметром а, если ξ принимает единственное значение а с вероятностью 1, то естьР(ξ=а)=1. Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	а
Р	1

Испытания Бернулли
Одинаковые, независ.между собой испытания, в каждом из к-рых рассматривается некотор.соб.А, наступающее с некотор.положит.вер-тью Р=Р(А)0, нзв испытаниями Бернулли. Само соб.А нзв успехом, а Ā – неудачей. р – вер-ть успеха; q – вер-ть неуспеха. q=1-р.


Распределение Бернулли.
Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р, если ξ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и 1-р, соответственно. Случайная величина ξ с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха р (0 успехов или 1 успех). Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	0	1
Р	1-р	р

Биноминальное распределение
Говорят, что случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0p1, если ξ принимает значения 0, 1,…, n с вероятностями . Случайная величина ξ с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.
Таблица распределения ξ имеет вид

ξ – может быть представл в виде суммы независ-ых событий ξ_k.
ξ_k = 0 – неуспех
ξ_k =1 – успех
ξ= ξ₁+ ξ₂+…+ ξ_k
M[ξ_k]=P
D[ξ_k]=M[ξ_k ²]-[M[ξ_k]²]=p-p²=pq
=> M[ξ]=np
D[ξ]=npq


Распределение Пуассона
Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром , где >0, если ξ принимает значения 0, 1, 2… с вероятностями
Таблица распределения ξ имеет вид

Ф-ция распределения:
где а – мат.ожидание




Замечание: распр Пуассона явл предельным, к кот-му → биноминальное распр при n→∞ и a=np=const.


Теорема Пуассона.
n – большое число испытаний
p – достаточно малая вер-ть
np – число успехов – значительно

a=np – среднее число успехов
Док-во:

р=a/n






Теорема: Пусть число исп-ий n →∞, а P→0, так что среднее число успехов np=a>0, тогда для любого k≥0 вер-ть получить k успехов в n исп-ях схемы Бернулли с вер-тью P по формуле:

n∞, P0, np=const>0, то




12. Основные непрерывные распределения. Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение. Нормальное распределение. Логарифмически нормальное распределение.
Основные непрерывные распределения
Случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f_ξ(x) такая, что для любого xR функция распределения F_ξ(x) представима в виде

При этом функция f_ξ(x) называется плотностью распределения случайной величины ξ.
Виды непрерывных распред.: равномерное, нормальное (гауссовское), показательное (экспоненциальное), логарифмически нормальное.


Равномерное распр.
С л вел-на ξ имеет равномер распред на отрезке [a;b] с несчет мн-вом возм значений, если плотность распр ξ постоянна на отрезке [a;b] и = 0 вне его.








Равномер распр явл непрерывным аналогом дискр распр-я вер-ей для опытов с равновероятностными исходами.


Экспоненциальное распределение.
С луч вел-на ξ имеет экспоненц-ое (показательное) распр с параметром α>0, если имеет место след посл-ть распределения:








Нормальное распределение.
Опред: Случ вел-на ξ имеет нормальное (Гауссовское) распр-е с параметрами a и σ (σ >0), если имеет место след плотность распр-ия:
















Свойства:
1. F_a,σ ²(x)=F_0,1((x-a)/σ)
xR
2. ξ (x₁, x₂)
P(x₁≤ξ≤ x₂)=Ф((x₂-a)/σ) – Ф((x₁-a)/σ)
3. Ф-ция распр сл вел-ны ξ, распред-ой по норм закону, выражается через ф-цию Лапласа по формуле:
F_ξ(x)=½+Ф((x-a)/σ)


Логарифмически нормальное распределение.
Опред: Лог-ски норм распр-ем наз-ся распр-ие вер-ти неотриц случайной вел-ны ξ, логарифм кот-ой распределен по норм-му закону с параметрами a и σ, σ>0.
a=M[ln ξ]
σ²=D[ln ξ]





Числовые характеристики:




13. Закон больших чисел. Неравенство Чебышёва. Правило 3σ. Теорема Чебышёва. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Закон больших чисел
Свойства статистической устойчивости средних заключается в том, что индивидуальные особенности, присущие каждому конкретному случайному явлению, почти не сказываются на усредненном результате таких явлений.
Закон больших чисел – это несколько теорем, определяющих общие условия, при которых среднее значение случайных величин стремится к некоторой const при проведении большого числа опытов (теоремы Чебышева и Бернулли).

Если существует последовательность
таких, что для любых ε>0, выполняется условие:
(*)
Последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными функциями :

Если в выражении (*) , то говорят, что случайная величина сходится по вероятности к а.
В данных терминах означает, что вел-на η_n-a_n сходится по вероятности к нулю.


Неравенство Чебышева
Для любой случайной величины ξ(кси), имеющей M[ξ] и D[ξ] при каждом ε>0 имеет место неравенство(неравенство Чебышева):


Док-во:
ξη, M[ξ]M[η]
Рассмотр. некотор.сл.вел-ну η



Пример: пусть ε=3σ
Случайная величина окажется за пределами 3σ:

Верно для любого распределения. Это – верхняя граница распределения вер-ти.
Противоположное событие – в пределах 3σ:



Правило 3σ

99,73%
0,27% - неудача (практически невозможное событие)
Правило 3σ:
Если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от мат ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения.


Теорема Чебышева
Если последовательность попарнонезависмых случайных величин, имеющих конечное мат ожидание и дисперсия, ограниченная одной и той же постоянной то при любом ε>0, предел вероятности события стремится к 1 при n→∞:



Док-во:




следовательно, при n→∞



Теорема Бернулли
Пусть m – число наступлений события А в n независимых испытаний и Р – вероятность наступления события А в каждом из испытаний при любом ε>0.

С ростом числа испытаний относительная частота успехов (m/n) будет приближаться к единичной вероятности.
Вводим случайную величину - число наступлений события А в k-ом испытании.




Центральная предельная теорема
Если независимые случайные величины, имеющие и третий центральный абсолютный момент: и если выполняется условие Ляпунова:
то при неограниченном возрастании n (n→∞) закон распределения суммы случайных величин неограниченно приближается к нормальному закону с параметрами:


Пусть независимые случайные величины с конечной ненулевой дисперсией, тогда для любых вещественных чисел х и у, х<у, n→∞ имеет место следующий вид сходимости:



Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа
Если вероятность наступления некоторого события в n независимых испытаниях постоянна и равна Р (0<Р<1), то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно k раз при n→∞ удовлетворяет соотношению:
для х>0