Закон распределения двумерной случайной величины Системы двух случайных величин

План


1.Ряд Тейлора и Маклорена для функций двух переменных
2.Ряд Фурье для непериодических функций
3.Системы двух случайных величин; закон распределения двумерной случайной величины
4.Системы двух случайных величин: числовые характеристики ситемы двух случайных величин

Ряд Тейлора и Маклорена для функций двух переменных

Формула Тейлора для функции одной переменной  выглядит следующим образом:

.
Здесь  – дифференциал первого порядка;

– дифференциал второго порядка;
– дифференциал  -го порядка;
– остаточный член.
Формула Тейлора позволяет вычислить функцию  в окрестности точки  , если в этой точке известны функция и ее  производных.
Аналогичная формула имеет место для функции двух переменных и вообще для функции многих переменных. В частности, если  – функция двух переменных, непрерывная вместе со своими  частными производными по  и  в некоторой области, содержащей точки  и  , то имеет место следующая формула Тейлора:
.
Здесь  – полный дифференциал  -го порядка функции двух переменных.
Выпишем эти дифференциалы при  и  .
,
где  . Таким образом,  – обычный полный дифференциал первого порядка. При  имеем


.
Упражнение. Выписать самостоятельно полный дифференциал третьего порядка функции двух переменных.
Замечание. Если  , то формула Тейлора носит название формулы Маклорена.
Пример 1.
Разложить функцию  по формуле Тейлора в окрестности точки  .
Сначала найдем частные производные:

.
Все остальные производные равны нулю, так что формула Тейлора имеет ограниченное число членов.
Найдем функцию и ее частные производные в точке  .
;
вторые частные производные равны константам, которые мы уже вычислили. Таким образом,

.
Пример 2.
Используя формулу Тейлора до членов второго порядка включительно, вычислить приближенно значение  .
Пусть  .
Тогда


.
Таким образом,


.