Множество называется поликонтинуумом, если любое две его точки можно соединить поликонтинуумов в. Объединение со всех поликонтинуумов в содержащих, называется конституантой точки в

§2.1. О функциях искажения топологических вложений ограниченно искажающих модули
Множество называется поликонтинуумом, если любое две его точки можно соединить поликонтинуумов в . Объединение со ( ) всех поликонтинуумов в содержащих , называется конституантой точки в . Символом обозначаем сферический диаметр множества со ( ).
Определение 2.1.1 [] . Пусть . Точка называется граничной точкой первого типа , если существуют и окрестность точки , такие, что при .
Определение 2.1.2 [] Пусть . Точка называется граничной точкой второго типа , если при и существует окрестность точки , такая, что для всех .
Символом обозначается множество граничных точек – го типа .
Теорема 2.1.1 [] Если то любое – вложения , продолжается до топологического вложения .
Определение 2.1.3 [] Множество называется связным в точки , если любая окрестность точки содержит окрестность точки , такую, что является объединением не более чем m невырожденных полуконтинуумов .
Теорема 2.1.2 [] Если для выполняется одно из условий:
а) существует , такое, что . Для всех ;
б) есть объединение конечного числа полуконтинуумов;
в) конечно – связано в каждой точке ;
то любое – вложение продолжается до топологического вложения .
Теорема 2.1.3 [] Если односвязно в каждой точке то любое вложение продолжается до – вложения с тем же самым .
Теорема 2.1.4 [8]. Пусть континуум содержит точку p, такую, что есть объединение попарно непересекающихся K -квазиконформных дуг (открытых или полуоткрытых ). Тогда любое -вложение продолжается до ОИМ-гомеоморфизма с коэффициентом искажения (к. и.) ≤ Q, где Q зависит лишь от K и .
Доказательство. Пусть – произвольная четверка связных компонент множества (не обязательно различных ), и пусть есть их объединение. В силу теорем 2.1.1- 2.1.3 продолжается до топологического вложения . Для любых двух непересекающихся континуумов один из них (пусть E ) не содержит p . Рассмотрим континуумы , , = 1, … , 4. Для каждого из них существует возрастающая последовательность замкнутых жордановых дуг такая, что . Так как есть топологическое вложение, то . В силу непрерывности модулей [14] имеем

тогда

Применив то же рассуждение к , получим оценку Следовательно , и является – вложением. Следовательно, [9, теорема 3] и [12, теорема 5.6] оно является -квазимёбиусовым, где зависит лишь от .
Произвольная четверка точек содержится в объединении не более на связности множит на . В силу - квазимёбиусовости на имеем оценку
,
где означает сферическое расстояние между точками. В силу произвольного выбора четверки точек в отсюда следует что является – квазимёбиусовым. Но любое квазимёбиусова вложение продолжается по непрерывности на замыкание своей области определения с той же функцией искажения. Поэтому продолжается до - квазимёбиусова вложения . В силу [9,теорема 2] и [12, теорема 4.3] является с , зависящим лишь от . По теореме 1 является ОИМ-гомеоморфизмом с к.и , где Q зависит лишь от K и , т.е в конечном счета – лишь от и . Теорема доказана.