Ózbekstan respublikasi joqari hám orta arnawli bilimlendiriw ministirligi

Xi kvadrat bólistiriliwi
𝜉_𝑖 ~ N( a, 𝜎 ) hám baylanıssız tosınnanlı shamalar bolsın ( i = 1^̅̅̅,^̅𝑛^̅ ).
𝜒² = 𝜉² + 𝜉² + ⋯ 𝜉²
𝑣 1 2 𝑣



𝑣
tosınnanlı shamalardı anıqlaymız. 𝜒² tosınnanlı shamanıń bólistiriliwine v
erkinlik dárejeli 𝜒² bólistriliwi delinedi.


v erkinlik dárejeli 𝜒² bólistiriliwdiń tıǵızlıq funktsiyası x > 0 ushın

_𝑥2
− ₂



^𝑣−1

𝑝_𝑣⁽𝑥⁾ = 𝑘_𝑣𝑒
_𝑥2

kóriniske iye, bul jerde 𝑘_𝑣 kobeytiwshi

shártti qanaatlandıradı.
+∞
^∫−∞
𝑝_𝑣
⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = 1

Koshi bólistiriliwi

Itimalliqlar teoriyasındaǵı Koshi bólistiriwi (fizikada Lorents bólistiriwi hám Breit-vigner bólistiriwi dep da ataladı ) ulıwma úzliksiz bólistiriwler klası bolıp tabıladı. Koshi bólistiriwine iye tosınarlı ózgeriwshi hesh qanday matematikalıq kutiliw yamasa dispersiyaga iye bolmaǵan muǵdardıń standart úlgisi bolıp tabıladı.

𝑋
X tosınnanlı ózgeriwshiniń bólistiriliwi tómendegi kóriniske iye bolǵan 𝑓^𝑥

tıǵızlıǵı berilgen bolsın

𝑓^𝑥 = ¹

1 𝛾 _]

^𝑋 𝑥−𝑥₀ ²
= [
𝜋 ⁽𝑥−𝑥
⁾²+𝛾²

𝜋𝛾(1+(
_𝛾 ) ) ⁰

Koshi bólistiriliwi tómendegi kóriniske iye:

𝐹^𝑥(x⁾ = ¹ arctg (^{𝑥 − 𝑥0}) + ¹

𝑋 _𝜋
𝛾 2

Ol qatań artıp baradı hám keri funktsiyaǵa iye:

𝐹⁻¹⁽x⁾ = ¹

_𝑋 𝑥₀ + 𝛾𝑡𝑔 [𝜋 (𝑥 − ₂)]

Bul keri ózgertiw usılı járdeminde Koshi bólistiriliwinen úlǵi jaratıw múmkin.

• 
  Koshi bólistiriliwi sheksiz bólinedi.
  
• 
  Koshi bólistirilwi turaqlı. Ádette, standart Koshi bólistiriliwinen alınǵan ulǵininiń ortasha ulgisi standart Koshi bólistiriwge iye:
  

𝑋^̅ = ^{1 ∑𝑛} 𝑋 ~𝐶(0,1)

_𝑛 𝑖=1 ^𝑖

Koshi bólistiriliwi, eger tuwrı sızıq hám ordinata arasındaǵı múyesh (−𝜋; 𝜋) aralıqta bir qıylı bólistiriliwge iye bolsa, ordinatanıń bir toshkasında qoyılǵan tuwrı sızıq arqalı absissada kesilgen segment uzınlıǵın sáwlelendiredi, yaǵnıy tuwrı sızıqtıń baǵıtı tegislikkede izotropik boladı. Negizin alǵanda , bul tómendegilerdi ańlatadı:

Tangenstiń periodlıǵı sebepli intervaldaǵı birdey
⁽−𝜋; 𝜋⁾ aralıqtaǵı bir qıylılıqtı ańlatadı.
(− ^𝜋 ;
2
𝜋₎ 2
bir waqıttıń ózinde

• 
  Fizikada Koshi bólistiriliwi (Lorents kórinisi dep ta ataladı) bir qıylı keńeygen spektral sızıqlar profillerin suwretleydi.
  
• 
  Koshi rezonans chastotalar jaqınındaǵı sızıqlı tebreniw dizimleriniń amplituda-chastota qásiyetlerin suwretleydi.
  

Styudent bólistiriliwi

Bólistiriw funksiyası qálegen bolǵan tosınarlı muǵdar matematikalıq kutiliwi ushın ámeliy isenimlilik aralıǵın duzdik. Egerde tańlanba orta ma`nisiniń bólistiriwi málim bolsa, anıq isenimlilik aralıǵın dúziw múmkin.

Shama menen oylayıq, 𝑋₁, …, 𝑋_𝑛 ler matematikalıq kutiliwi 𝜃 hám dispersiyasi
𝜎² bolǵan normal nızam boyinsha bólistirilgen X tosinarlı muǵdardıń tájiriybeler nátiyjesinde alınǵan kólemi n - ga teń bolǵan tańlanbası bolsın.
Tómendegi statistikanı kiritemiz:


𝑥̅ − 𝜃

Bul jerde,
𝑡 = √𝑛 − 1
𝑆

𝑥̅ = ^{1 ∑𝑛}

𝑥 , 𝑆^̅2 = ¹
_∑𝑛
⁽𝑥
− 𝑥̅⁾²

_𝑛 𝑖=1 ^𝑖

𝑛−1
𝑖=1 ^𝑖

Teorema. Egerde 𝑋₁, …, 𝑋_𝑛 n – baylanıssız hám (𝜃, 𝜎² ) parametrli normal nızam boyınsha bólistirilgen statistik tańlanba bolsa, bunday jaǵdayda t – statistika erkinlik dárejesi n-1 ge teń bolgan Styudent bólistiriliwine iye boladı. Styudent bólistiriliwiniń tıǵızlıq funktsiyası tómendegi kórinisde boladı:

𝑛
Г (₂)
𝑛
_𝑡2 −₂

𝑆_𝑛−1⁽𝑡⁾ =
√^{𝜋(𝑛 − 1)Г (}
𝑛 − 1₎
2
(1 + )
𝑛 − 1

0
^{Г(𝑥) =} ∫^{∞ 𝑢𝑥−1𝑒−𝑢𝑑𝑢}
– gamma funktsiya joqarıdaǵı formuladan kórinip

turıptı, olda Styudent bólistiriwi x hám S statistikalarǵa baylanıslı bolmay, tek gúzetiwler kólemi n ga baylanıslı bolıp tabıladı. Endi Styudent bólistiriwiniń isenimlilik aralıǵın qurıwǵa nátiyjeni ámelde qollanıwın kóreyik.

Normal nızam boyinsha bólistirilgen X tosınnanlı shamanıń tájiriybeler nátiyjesinde 𝑋₁, …, 𝑋_𝑛 bahaları tabılǵan bolsın. Bular tiykarında 𝑥̅ hám 𝑆^̅ statistikalardı esaplaymiz. Tosınnanlı shamanıń belgisiz matematikalıq kutiliwi

𝜃 - ushın isenimlilik múmkinshiligı β (0<β<1) bolǵan 𝑒_𝛽 isenimlilik aralıǵın qurıw máselesin qaraymız.
Tómendegi itimaldı kóreylik:

𝑃{^|𝑥̅ − 𝜃^| < 𝛿_𝛽}

Bul teńliktiń shep tárepinde x tosınnanlı shamadan t – statistikaǵa otemiz.

Bunıń ushın ^|𝑥̅ − 𝜃^| < 𝛿_𝛽
teńsizligin eki tárepin^√𝑛
_𝑆̅
t ge kóbeytemiz. Bunday

jaǵdayda,

^ﻟ_√𝑛^|𝑥̅ − 𝜃^|
_𝛿𝛽 1

𝑃 ❪ _𝑆̅ <
= 𝛽
𝑆 _❵

𝗅 _√𝑛𝖩

teńlik payda boladı. (1) formuladan paydalansaq,

ﻟ _𝛿𝛽 1

𝑃 ^|𝑡^| <
❪
= 𝛽
𝑆 _❵

𝗅 _√𝑛 𝖩

Styudent bólistiriwi tıǵızlıq funksiyasınıń juplıǵınan paydalanıp tómendegini payda etemiz:

^{𝑃{|𝑡| < 𝑡 } = 2} ∫^{𝑡𝛽 𝑆
(}𝑡⁾𝑑𝑡 = 𝛽 (2)

𝛽 ₀
𝑛−1

Endi (2) teńlikten 𝑡_𝛽 di tabıwımız múmkin. Styudent bólistiriliwi mánisleri kesteden paydalanıp, isenimlilik itimallıǵı β hám erkinlik dárejesi n-1 ge emes 𝑡_𝛽 di anıqlaymız:

𝛿_𝛽 = 𝑡_𝛽

_𝑆̅
_√𝑛

Bul bolsa 𝑒_𝛽 isenimlilik aralıǵı uzınlıǵınıń yarımına teń.

Demek,
𝑒_𝛽 = (𝑥̅ − 𝑡<sub>𝛽


𝑆</sub>̃
_√𝑛
, 𝑥̅ + 𝑡<sub>𝛽


𝑆</sub>̃
)
_√𝑛

Mısal. (𝜃, 𝜎²) parametrli normal nızam boyınsha bólistirilgen X tosınnanlı shamanıń 10 dana baylanıssız tájriybeleri tómendegishe mánislerin anıqlaymız:

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
𝑋𝑖	2,5	2	-2,3	1,9	-2,1	2,4	2,3	-2,5	1,5	-1,7

matematik kutiliwi θ ushin isenimlilik itimallıǵı β = 0.95 bolǵan 𝑒_𝛽 – isenimlilik aralıǵın tabıń.
Tańlanbanıń orta mánisi hám dispersiyasin tabamız:

1
𝑥̅ =
10
∑ 𝑥
= 0,4 , 𝑆^̅ = ¹⁰ [ ¹

10
∑ 𝑥² − ⁽0,4⁾²] ≈ 4,933

10 ^𝑖
𝑖=1

9 10
𝑖
𝑖=1

Kesteden erkinlik dárejesi n-1 = 9 hám itimalliq β = 0.95 boyınsha Styudent bólistiriliwiniń (1-𝑡_𝛽) – kvantlisin tabamiz 𝑡_𝛽 = 2.26. Demek,

𝛿 = 𝑡 ^𝑆 ≈ 1,58

𝛽 𝛽 _√𝑛

hám izlenip atırǵan isenimlilik aralıǵı

𝑒_𝛽 = (𝑥̅ − 𝛿_𝛽, 𝑥̅ + 𝛿_𝛽 ) = ⁽−1,18; 1,98⁾

kórinisinde bolar eken.

2.3 Mısal hám máseleler

1-mısal. [ a,b ] kesindige ( [a,b ]⊂ R ) tosınnanlı toshka alınǵanda, yaǵnıy [a, b] ǵa tiyisli qandayda bir toplamǵa toshkanıń tusiw itimallıǵı bul toplamnıń Lebeg ólshemine proportsional bolsın. Bul mısal ushın Ω = [a,b] hám ℑ bolsa [a,b ] daǵi Borel toplamınan ibarat, σ –algebası bolıp, ξ tosınnanlı shamanı tómendegishe anıqlaymız:

ξ⁽𝜔⁾ = 𝜔 𝜔 =∈ ^[𝑎, 𝑏^]

yaǵnıy ξ tosınnanlı shama taslanǵan toshkanıń [ a,b] kesindidegi mánisine teń bolıp, ólshemli funkciya boladı. Eger x < a bolsa,

𝐹⁽𝑥⁾ = 𝑃⁽ξ < x⁾ = 0

boladı. Endi [ x∈a,b ] bolsın.
Bunday jaǵdayda (ξ < x) qubılıs júz bergende toshka [a,x ) intervalga túsedi.

Bul intervalǵa túsiw itimallıǵı onıń uzınlıǵına proportsional, yaǵnıy

𝑥 − 𝑎

𝐹⁽𝑥⁾ = 𝑃⁽ξ < x⁾ =

𝑏 − 𝑎

Eger х >b bolsa, F (x)= 1boladı. Demek, F(x) bólistiriw funkciyası tómendegi kórinisge iye boladı:

0 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 ≤ a

F(x) = {
^𝑥−𝑎 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑎
𝑏−𝑎
1 , 𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑥 > b
< x

Joqarıdaǵı bólistiriliw funkciyası menen aniqlanǵan ξ tosınnanlı shama [a,b ] aralıqda tegis bólistirilgen dep ataladı.
Endi bólistiriw funkciyası qásiyetlerin keltiremiz. ξ tosınnanlı shamanıń bólistiriliw funkciyası F (x) bolsin. Bunday jaǵdayda F(x) tómendegi qásiyetlerge iye:
F1. eger x₁ ≤ x₂ bolsa, bunday jaǵdayda F( x₁) ≤ F(x₂) (monotonlıq qásiyeti); F2.

lim
𝑥→−∞
𝐹⁽𝑥⁾ = 0, lim
𝑥→+∞
𝐹⁽𝑥⁾ = 1 (shegaralanǵanlıq qásiyeti);

F3.

lim
𝑥→𝑥₀−0

𝐹⁽𝑥⁾ = 𝐹(𝑥₀) (shepden uzliksizlik qásiyeti).

Dálilleniwi. x₁ ≤ x₂ ushın

^{ξ < 𝑥₁^} ⊆ ^{ξ < 𝑥₂^}

bolǵanligi sebepli F1 qásiyetiniń itimallıǵı 3) qásiyetinen kelip shiǵadı. F2 qásiyetin dálillew ushın tómendegi {x_n } ham {y_n } sanlı izbe-izliklerdi kiritemiz:
{ x_n } kemeyiwshi izbe-izlik bolıp, x_n →−∞ hám { y_n } osiwshi izbe-izlik bolıp, y_n
→+∞ bolsın.

𝐴_𝑛 = ^{ξ < 𝑥_𝑛^}, 𝐵_𝑛 = ^{ξ < 𝑦_𝑛^}

kópliklerdi kiritemiz. x_n ↓−∞ ekenliginen A_n koplikler izbe-izligi monoton kemeyiwshi hám ∩A_n =∅ boladı. Itimallıqtıń uzliksizlik aksiomasına tiykarlanıp
n→∞ da P_n (A) → 0. Bunday jaǵdayda

lim 𝐹(𝑥_𝑛) = 0

𝑛→∞
Bunnan F(x) funkciya monotonlıǵınan
lim 𝐹(𝑥_𝑛) = 0
𝑛→∞
ekenligi kelip shiǵadı. {y_n } izbe-izlik n→∞ da +∞ ge monoton jaqınlasıwshı bolganlıǵı ushın B_n kóplikler izbe-izligi de ósiwshi bolıp, UB_n =Ω boladı.
Itimallıqtıń qásiyetine tiykarlanıp n→∞ da P( B_n )→ 1 boladı. Bunnan

lim 𝐹(𝑦_𝑛) = 1, lim 𝐹(𝑥) = 1

𝑛→∞ 𝑛→∞

qatnaslar kelip shiǵadı.

F3 qásiyetin dálillew ushın