Ta’rif. Agar ⊢ ℑ Þ ℬ bo‘lsa, u holda ℑ formula ℬ formuladan kuchliro=, ℬ formula esa ℑ formuladan kuchsizro= deyiladi. II 2 ta’rif

10 – MA`RUZA. MONOTON O`SUVCHI,MONOTON KAMAYUVCHI FORMULALAR.TENG KUCHLI FORMULA TUSHUNCHASI.

II.5.1 - ta’rif. Agar ⊢ ℑ Þ ℬ bo‘lsa, u holda ℑ formula ℬ formuladan kuchliro= , ℬ formula esa ℑ formuladan kuchsizro= deyiladi.

II.5.2 - ta’rif. Mulohazalar hisobining B o‘zgaruvchi mulohaza qatnashgan ℑ formulasini ℑ ( B ) orqali belgilab olamiz. Agar B₁ Þ V₂ formuladan ℑ ( B₁) Þ ℑ ( B₂ ) formula kelib chiqsa, u holda ℑ formula V o‘zgaruvchi bo‘yicha monoton ûsuvchi, agar ℑ ( B₂ ) Þ ℑ ( B₁ ) kelib chiqsa, ℑ formula B o‘zgaruvchi bo‘yicha monoton kamayuvchi formula deyiladi.

II.5.3 - teorema. A Ù B formula A va B o‘zgaruvchibo‘yicha monoton ûsuvchidir.

Isbot. A Ù B formula V o‘zgaruvchi bo‘yicha monoton o‘suvchi bo‘lishini isbot qilamiz.

⊢ B₁ Þ B₂ bo‘lsin. II₂ aksiomaga kûra ⊢ A Ù B₁ Þ B₁ . Hosil bo‘lgan formulaga sillogizm qoidasini qo‘lllasak ,

⊢ A Ù B₁ Þ B₂ kelib chiqadi. II₃ aksiomaga kûra

⊢ ( A Ù B₁ Þ A ) Þ (( A Ù B₁ Þ V₂) Þ ( A Ù B₁ Þ A Ù B₂ )).

Ùulosa chiqarish qoidasini ikki marta qo‘lllasak,

⊢ A Ù B₁ Þ A Ù B ₂ hosil bo‘ladi.

A Ù B formula A o‘zgaruvchi bo‘yicha monoton o‘sishi shunga o‘xshash isbot qilinadi.

II.5.4 - teorema. A Ú B formula A va B o‘zgaruvchibo‘yicha monoton ûsuvchi formuladir.

Isbot. A Ú B formulaning A o‘zgaruvchi bo‘yicha monoton o‘suvchi bo‘lishini isbot qilaylik.

⊢ B₁Þ B₂ bo‘lsin . III₁ aksiomaga asosan ⊢ B₂ Þ B₂ Ú B . Sillogizm qoidasiga kûra ⊢ B₁ Þ B₂ Ú B . II₂ aksiomaga kûra

⊢ V Þ B₂ Ú B . U holda III₃ aksiomaga kûra ⊢ ( B₁ Þ B₂ Ú B ) Þ Þ (( B Þ B₂ Ú B ) Þ ( B₁ Ú B Þ B₂ Ú B )) . Hosil bo‘lgan formulaga MR qoidasini ikki marta qo‘lllasak ⊢ B₁ Ú B Þ B₂ Ú B hosil bo‘ladi.

A Ú B formula V o‘zgaruvchi bo‘yicha monoton o‘sishi shunga o‘xshash isbot qilinadi.

II.5.5 - teorema. ù A formula A o‘zgaruvchi bo‘yicha monoton kamayadi.

Isbot. ⊢ ℬ₁ Þ ℬ₂ bo‘lsin. IY₁ aksiomaga kûra

⊢ ( ℬ₁ Þ ℬ₂ ) Þ ( ù ℬ₂ Þ ù ℬ₁ ) . U holda MR qoidasiga asosan ù ℬ₂ Þ ù ℬ₁ .

II.5.6 - teorema. A Þ B formula V o‘zgaruvchi bo‘yicha monoton o‘sadi, A o‘zgaruvchi bo‘yicha esa monoton kamayadi.

Isbot. ⊢ ℬ₁ Þ ℬ₂ bo‘lsin . ⊢ A Þ A dan

⊢ (A Þ ℬ₁) Þ ( A Þ ℬ₁ ) . SHartlarni birlashtirish qoidasiga asosan ⊢ ( A Þ ℬ₁ ) Ù A Þ ℬ₁ . ⊢ ℬ₁ Þ ℬ₂ ni hisobga olib sillogizm qoidasini qo‘lllasak,

⊢ ( A Þ ℬ₁) Ù A Þ ℬ₂ bo‘ladi. U holda shartlarni ajratish qoidasiga kûra ⊢ ( A Þ ℬ₁ ) Þ ( A Þ ℬ₂ ) hosil bo‘ladi.

Endi A Þ B formula A o‘zgaruvchi bo‘yicha monoton kamayishini isbot qilamiz.

⊢ ℬ₁Þ ℬ₂ bo‘lsin. U holda ⊢ A Þ A bo‘lganligi sababli

⊢ ( ℬ₂ Þ Þ B ) Þ ( ℬ₂ Þ B ) . SHartlarni birlashtirish qoidasiga kûra ⊢ ( ℬ₂ Þ B ) Ù ℬ₂ Þ B . II.5.3 teoremaga asosan

⊢ ( ℬ₂ Þ B ) Ù ℬ₁ Þ ( ℬ ₂ Þ B ) Ù ℬ ₂ .

U holda, sillogizm qoidasiga kûra ⊢ ( ℬ₂ Þ B ) Ù ℬ₁ Þ B . SHartlarni ajratish qoidasiga kûra ⊢ ( ℬ₂ Þ B ) Þ ( ℬ₁ Þ B ).