Ózbekstan respublikasi joqari hám orta arnawli bilimlendiriw ministirligi

𝜉⁻¹⁽𝐵⁾ = ^{𝜔: 𝜉(𝜔) ∈ 𝐵^} ∈ 𝔉

Demek, ξ tosınnanlı shama (R, ℜ) ólshewli keńislikde

𝑃_𝜉⁽𝐵⁾ = 𝑃⁽𝜉 ∈ 𝐵⁾

itimallıqların anıqlaydı hám ( P_ξ ,R, B) itiamllıq keńisligin payda qıladı.

1. 
   Aniqlama
   

{𝑃_𝜉⁽𝐵⁾, 𝐵 ∈ 𝖰}

itimallıqlar ξ tosinnanli shamanıń bólistiriliwi dep ataladi. Eger B toplam sıpatında (− ∞ , x ) aralıqtı alsaq, bunday jaǵdayda biz haqıyqıy kósherde anıqlanǵan

𝐹_𝜉 ⁽𝑥⁾ = 𝑃_𝜉^{(−∞, 𝑥)^} = 𝑃(𝜔: ξ(𝜔) < 𝑥) = 𝑃(ξ < x)

Funkciyaǵa iye bolamız.

2. 
   Aniqlama. F_ξ (x) funkciya ξ tosınnanlı shamanıń bólistiriliw funkciyası delinedi. Eger tusinbewshilikler keltirip shiǵarmasa, F_ξ (x) di F(x) kórinisinde jazamız. Joqarıdaǵılardan kóriw múmkin bolıp, tosınnanlı shamanıń bólistiriliw funkciyası onıń bólistiriliwin anıqlaydı hám usı sebepli bólistiriliw ornına kóp
   

jaǵdaylarda bólistiriw funkciyası qollanıladı.

Tosınnanlı shamanıń tıǵızlıq funkciyası. Tosınnanliı shama onıń bólistiriw funkciyası járdeminde emes, bálkim basqa usıllarda anıqlanıwı múmkin. Anıq qaǵıydalar arqalı tosınnanlı shama bólistiriw funkciyaın tabıw imkaniyatın beriwshi hár qanday хarakteristika tosınnanlı shamanıń bólistiriw nızaımı dep ataladı.

Qandayda ξ tosınnanlı shamanıń bólistiriw nızamı sıpatında
𝑥₁ ≤ ξ < 𝑥₂
teńsizlik itimallıǵın anıqlawshı P{ x₁ x₂ } interval funkciyanı alıwımız múmkin.
Haqiyqattan da, eger P{ x₁ x₂ } málim bolsa, bunday jaǵdayda bólistiriw funkciyasın

𝐹⁽𝑥⁾ = 𝑃⁽−∞, x⁾

formula arqalı tabamız múmkin. Óz náwbetinde, F (x) járdeminde qálegen x₁ hám x₂ ler ushin P{ x₁ x₂ } funkciyanı tabıwımız múmkin:
P{ x₁ x₂ }=𝐹⁽𝑥₂⁾ − 𝐹(𝑥₁)
Tosınnanlı shamalar arasınan shekli yamasa sanawlı sandaǵı mánislerdi qabıl qilatuǵınların ajıratıp alamız. Bunday tosınnanlı shamalar diskret tosınnanlı shamalar delinedi. Oń itimallıqlar menen x₁, x₂, x_3, …, mánislerdi qabıl qılıwshı ξ tosınnanlı shamanı tolalıǵınsha хarakterlew ushın
𝑝_𝑘 = P{ ξ = 𝑥_𝑘 }
itimallıǵı biliw jeterli, yaǵnıy p_k itimallıqlardıń barlıq járdeminde F (x) bólistiriw funkciyasın tómendegi teńlik jardeminde tabıw múmkin:

𝐹⁽𝑥⁾ = ∑ 𝑝_𝑘

bul jerde qosındı x_k < x bolǵan indekslar ushın esaplanadı.

Qálegen diskret tosınnanlı shamanıń tosınnanlı funkciyasi uzilisge iye hám ξ diń qabıl qılıwı múmkin bolǵan x mánislerinde sekiriw arqalı osip baradı. F(x) bolistiriw funkciyanıń х toshkadaǵı sekiriw shaması
𝐹⁽𝑥 + 0⁾ − 𝐹(𝑥)
ayırmaǵa teń. Eger ξ tosınnanlı shama qabıl qılıwı múmkin bolǵan eki mánisi interval menen ajıratılatuǵın hám bul intervalda ξ tosınnanlı shama basqa mánisi bolmasa, bunday jaǵdayda bul intervalda F(x) bólistiriw funkciya ózgermes boladı. Shekli sandaǵı mánislerdi qabıl qılıwshı ξ tosınnanlı shamanıń bólistiriw funkciyası F(x) tiń grafigi tekshe korinisindegi kemeyetuǵın tuwrı sızıqdan ibarat boladı. Diskret tosınnanlı nızamınıń keste kórinisinde beriw qolaylı boladı.
Mánisler x₁, x₂, x_3, …, Itimallıqlar p₁, p₂, p₃ …_,
Bul jerde joqarıda aytıp ótilgenindey
𝑝_𝑘 = P{ ξ = 𝑥_𝑘 } ≥ 0, ^∑ 𝑝_𝑘
Endi tosınnanlı shamalardıń jáne bir ayrıqsha tipin – uzliksiz tosınnanlı shamalardı keltiremiz. Bul tip bólistiriwge 𝑃_𝜉(𝐵) di qálegen Borel kópligi B ushın tómendegi keltirilgen kórinisinde ańlatıw múmkin bolǵan ξ tosınnanlı shamalar kiredi:

^{𝑃𝜉(𝐵) =𝑃(ξ ∈ B) =} ∫_𝐵
𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥,

bul jerde

+∞
𝑓⁽𝑥⁾ ≥ 0, ∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = 1

−∞

𝑃_𝜉(𝐵) absolyut uzliksiz bólistiriw delinedi.
Óshemlerdiń dawam ettiriwdiń birden birlik teoremasınan joqarıda keltirilgen absolyut uzliksizlik anıqlamasa barlıq x∈R ler ushın
𝑥
𝐹_𝜉 ⁽𝑥⁾ = ∫ 𝑓⁽𝑢⁾𝑑𝑢
−∞
korinisinde ekvivalent ekenligin anıqlaw qıyın emes. Bunday qásiyetine iye bolǵan bólistiriw funkciyası absolyut uzlıksiz dep ataladı.
f(x) funkciya joqarıdaǵı teńliklerden anıqlanadı hám bólistiriw tıǵızlıǵı (tıǵızlıǵı funkciyası) dep ataladı. Bul funkciya ushın
𝑑𝐹(𝑥)

teńlik orınlı.

𝑓⁽𝑥⁾ =
𝑑𝑥

2



𝑓⁽𝑥⁾ = {^𝑏−𝑎
₋ 2
⁽𝑏−𝑎^)2
|𝑎 + 𝑏 − 2𝑥^|, 𝑥 ∈ ^[𝑎, 𝑏^]

0, 𝑥 ∉ ^[𝑎, 𝑏^]

Xarakteristikaliq funktsiyası tómendegishe ańlatıladı:

_2(𝑒𝑖𝑡𝑏^⁄2 _{− 𝑒}𝑖𝑡𝑎^⁄2₎ ²

𝜑⁽𝑡⁾ = [
⁽𝑏 − 𝑎⁾𝑖𝑡 ^]

Momenti:


𝐸𝜉^𝑘= ⁴ [𝑎^𝑘+2 + 𝑏^𝑘+2 − 2 (^𝑎+𝑏

𝑘+2
]

⁽𝑏−𝑎⁾²⁽𝑘+1⁾⁽𝑘+2⁾ 2 ⁾

Dispersiyasi:


_{𝐷𝜉 =} ⁽𝑏−𝑎⁾²
24

Assimetriya koeffitsiyenti:

𝛾₁ = 0

Ektsessa koeffitsiyenti:

𝛾₂ = − 3^⁄5