Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги тошкент кимё – технология институти

Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси ечимларини топишнинг Гаусс усули.

Гаусс усулининг моҳияти

Юқори тартибли детерминантларни ҳисоблаш қоидалари
Гаусс усули билан детерминантни ҳисоблашни 2-тартибли
детерминантларга келтириш ғояси
Гаусс усули билан ҳисоблаш алгоритми


Чизқли алгебраик тенгламалар системаси ечимларини топишнинг Гаусс усули. Алгоритмлар

Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси ечимларини топишнинг кенг тарқалган услуби, номаълумларни кетма кет йўқотиш алгоритмидан иборатдир. Бу услуб Гаусс усули деб номланади. n – та номаълумдан иборат n –та чизиқли алгебраик тенгламалар системаси (1) берилган бўлсин.

(1)

(1) - чизиқли тенгламалар системани Гаусс усули билан ечиш ғояси қуйидагича:

1-қадам. бўлсин. Акс ҳолда қолган тенгламалардан олдидаги коэффициенти нолга тенг бўлмаган тенглама (ёки модуль бўйича олдида энг катта коэффициентли тенглама) биринчи тенглама қилиб олинади. Биринчи тенгламадан ни топиб оламиз:

Ва ни барча қолган тенгламаларга қўямиз:
(1)
2-қадам. (1) системанинг иккинчисидан агар, , бўлса, (акс ҳолда тенгламаларни ўрнини ўзгартирамиз), ни топиб учинчи тенгламадан бошлаб ни йўқотамиз ва хоказо. - қадамда қуйидаги системага келамиз:

Бу тенгламаларнинг охиргисидан х_n топамиз топамиз:
(3)
(4)
(3) - формулалар билан (1) системани (3) учбурчак кўринишидаги сиcтемага келтирамиз (тўғри юриш), (4) формулалар билан қолган номаълумлар топилади (тескари юриш). Гаусс усулини қуйидагича таҳлил қилиш мумкин: , бу ерда L, U-қуйи ва юқори учбурчак матрицалар, улардан бирининг диогнал элементлари, масалан, U-нинг диогнал элементлари 1 га тенг. Гаусс усулида A=LU ёйилма топилгач, аввал система, сўнг система осон ечилади.
Гаусс усулида бирор бош элемент нолга тенг бўлса системанинг детерминанти нолга тенг ва бу ҳолда система ё ечимга эга эмас, ё чексиз кўп ечимга эга.
Мисол 1. Ушбу система ечилсин:Ах=b , бунда А билан b қуйидаги матрицалардан иборат:
.
Системани кенгайтирилган матрицасини тузиб схематик равишда ечамиз:

Бу ердан, z=2,y=4z-5=3,x=-y+z=-1. Жавоб:{-1,3,2}.