Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги тошкент кимё – технология институти

Чизиқли тенгламалар системасини ечиш усуллари

Чизиқли тенгламалар системасини тескари матрица усулида ечиш n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар системаси

берилган бўлсин. Матрицаларни кўпайтириш амали ва матрицалар тенглиги таърифидан фойдаланиб, системани
AX = B
матрицали тенглама кўринишида ёзиш мумкин. Бу ерда, A = (a_iκ) - асосий матрица, В – озод ҳадлар устун матрицаси ва Х - номаълумлар устун матрицаси.
Системанинг асосий матрицаси А махсусмас бўлиб, А^-1 унинг тескари матрицаси бўлсин. AX = B тенглама иккала қисмини чапдан тескари А^-1 матрицага кўпайтирамиз ва
A^-1A = E, EX =X

тенгликларни эътиборга олсак,

X = A^-1B (1)

тенгламани оламиз. (1) тенглама тенгламалар системаси ечимини матрица шаклда ёзиш ёки системани тескари матрица усулида ечиш формуласи дейилади. Шндай қилиб, системани тескари матрица усулида ечиш учун А квадрат матрица тескариси А^-1 қурилади ва у чапдан озод ҳадлар матрицaси В га кўпайтирилади.

Масала. Қуйида берилган чизиқли тенгламалар системаларини тескари матрица усулида ечинг:
1) 2) 3)

1)

Система ечими: ( 9; -5 ).

2) қисм матрица ранги система рангига тенг бўлгани учун система дастлабки кўринишини унга тенг кучли қуйидаги шакли билан алмаштирамиз:

Юқоридаги системани матрицалар усулини қўллаб ечиш мумкин:

Система аниқмас бўлиб, умумий ечим кўринишларидан бири шаклда ёзилиши мумкин. Бу ерда, х₂єР.

3) Система асосий матрицаси тескарисини Жордан усулида аниқлаймиз:


( …(

Система ягона ечимини тескари матрица усули формуласини қўллаб, қурамиз:

Система ечими: ( -2; -1; 2 ).

Ҳар бир усул каби тескари матрица усули ўзининг афзаллик ва ноқулайлик жиҳатларга эга. Бир нечта асосий матрицалари айнан тенг ва бири-биридан фақат озод ҳадлари устуни билан фарқ қилувчи системаларни тескари матрица усулида ечган мақсадга мувофиқ. Чунки, бир марта қурилган тескари матрица мос озод ҳадлари устунига кўпайтирилади ва
натижа олинаверади. Усулнинг ноқулай жиҳати тескари матрица қуриш жараёни билан боғлиқ бўлиб, айниқса, Det А нолга яқин бўлганда кўп хонали сонлар уcтида ҳисоб-китобларни талаб этади.

Таянч сўзлар ва иборалар

ЧАТС, тенгламалар системаси, чизиқли алгебраик тенгламалар системаси, детерминант, матрица, тескари матрица, Крамер усули.

Назорат саволлари

1. 
   Крамер усулининг моҳиятини айтиб беринг.
   
2. 
   Юқори тартибли детерминантларини ҳисоблашни қандай қоидаларини биласиз?
   
3. 
   Крамер усули билан детерминантни ҳисоблашни 2 тартибли детерминантларга келтириш ғоясини айтиб беринг.
   

4. Тескари матрицани Гаусс усули билан ҳисоблаш ғоясини айтиб беринг

МАЪРУЗА - 7