Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги тошкент кимё – технология институти

Крамер теоремаси. n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар системаси аниқ бўлиши учун унинг асосий матрицаси детерминантининг нолдан фарқли бўлиши зарур ва етарли. Ягона ечим ..., ,...,
тартибланган тизимдан иборат бўлади, бу ерда А_j асосий А матрицадан j-уcтуннинг озод ҳадлар устуни билан алмаштирилгани билан фарқ қилувчи матрица. Агарда DетА = 0 бўлса, (2) система ёки аниқмас ёки биргаликда бўлмайди.
Масала. Қуйида берилган чизиқли тенгламалар системаларини биргаликда ва аниқлигини текширинг. Биргаликдаги системаларни Крамер формулалари ёрдамида ечинг:

1) 2)

3)

Берилган системалар уч номаълумли учта чизиқли тенгламалар системаси бўлгани учун, дастлаб, Крамер теоремасини татбиқ этамиз:

1) бўлгани учун - система аниқ.

Ягона ечим Крамер формулалари ёрдамида топилади:


, ,
. Система ечими: ( -3; 2; 1).
2) . Крамер теоремасига кўра, система ёки аниқмас ёки биргаликдамас. Кронекер-Капелли теоремасига мурожаат этиб, система кенгайтирилган матрицаси рангини Гаусс алгоритми ёрдамида аниқлаймиз:
  .

rang(A) = 2 = 2 = rang(A | B) < 3 (номаълумлар сони) шартлар бажарилгани учун система аниқмас ва қуйидаги системага тенг кучли:

Охирги системани Крамер формуласи ёрдамида ечиш мумкин:

Система ечими:

3) detA = 0 бўлгани учун система ёки аниқмас ёки биргаликдамас.

Система кенгайтирилган матрицаси рангини ноллар йиғиб, ҳисоблаймиз:


 

rang(A) = 2 < 3 = rang(A | B) муносабат ўринли бўлгани учун система биргаликдамас.

3. Бир жинсли чизиқли тенгламалар системасининг нолмас ечимлари мавжудлик шартлари.
Агар (1) система тенгламалари барча озод ҳадлари нолга тенг бўлса, чизиқли тенгламалар системаси бир жинсли система дейилади. Агарда тенгламалар озод ҳадларидан хеч бўлмаганда биттаси нолдан фарқли бўлса, система бир жинсли бўлмаган система деб аталади.
Чизиқли бир жинсли тенгламалар системаси доимо биргаликда, чунки rang(A) = rang(A | O) тенглик ҳар доим ўринли. Бундан ташқари, бир жинсли система ҳар доим м та ноллар тизими - нолли ёки тривиал (0; 0; …; 0) ечимга эгалиги билан ҳарактерланади.
Чизиқли бир жинсли тенгламалар системаси учун унинг нолмас ечимларга эгалик шартини билиш муҳимдир. Жавоб Кронекер–Капелли теоремасидан келиб чиқади.
Теорема. Чизиқли бир жинсли тенгламалар системаси нол ечимдан ташқари нолмас ечимларга хам эга бўлиши учун система асосий матрицаси рангининг номаълумлар сонидан кичик бўлиши зарур ва етарли.
Теоремадан қуйидаги хулосаларни чиқариш мумкин.
1-хулоса. Агар бир жинсли системанинг номаълумлари сони унинг тенгламалари сонидан катта бўлса, система нол ечимдан ташқари нолмас ечимларга хам эга.
2-хулоса. n та номаълумли н та чизиқли бир жинсли тенгламалар системаси нол ечимдан ташқари нолмас ечимларга хам эга бўлиши учун система асосий матрицасининг детерминанти нолга тенг бўлиши зарур ва етарли.